DP-动态规划算法实例：拿糖果问题

拿糖果问题

问题描述
　　妈妈给小B买了N块糖！但是她不允许小B直接吃掉。
　　假设当前有M块糖，小B每次可以拿P块糖，其中P是M的一个不大于根号下M的质因数。这时，妈妈就会在小B拿了P块糖以后再从糖堆里拿走P块糖。然后小B就可以接着拿糖。
　　现在小B希望知道最多可以拿多少糖。
输入格式
　　一个整数N
输出格式
　　最多可以拿多少糖
样例输入
15
样例输出
6
数据规模和约定
　　N <= 100000

解题思路：
这道题关键在于数字P，首先理解数字P，它有三个条件，其一是质数，其二是M的一个因数，其三要小于根号下M。
接下来看问题，问的是 希望知道最多可以拿多少糖，而拿糖呢 是 有N颗糖拿最多的糖 看到这个熟悉的架构了吗，这表明，从N中拿最多的糖建立在从N-1到1中拿最多的糖的解上，而我们知道，动态规划问题的一个要点在于，整体的最优解，一定建立或包含在子最优解上的，也就说从M中挑选P的最优解，一定建立在从M＇中挑选P＇的最优解上。通俗的讲，假设有N = 15，我现在已经知道了N = 1 ，2 ，3 。。。14的答案，首先当N = 15时，它的质因数为2或者3.也就是说，我如果拿2颗，那么还剩15 - 2 * 2 = 11颗，而我已经知道了11颗糖的时候我能拿的最多糖果的答案，那么N = 15时，我能拿到的糖果就是当糖果还有11颗是我能拿的数量加上我已经拿的2颗。同理，还要考虑质因数为3的情况，两种情况中那个情况最优，则答案就是那个。
所以我们可以得出递推式：
dp[i] = dp[i - 2 * prime] + prime
其中，i代表当前的糖果数量，dp[i]的值为当糖果数量为I时我能拿的最多的糖果。
当然，我们这个递推式还不完整，还漏了一点。就是会有多个质因数可以供选择，我们必须对于每个质因数都计算一次，然后选其中最大的情况，所以，完善后的递推式为
dp[i] = max( dp[i] , dp[i - 2 * prime] + prime )
当所有准备工作完成后，我们可以开始了

c++代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using std::cout;
using std::cin;
using std::vector;
using std::max;

int main()
{
    vector<int> prime;
   //存放小于等于根号下 number 的所有质数
    int number;            //等待输入的总糖果数量
    bool flag;            //状态。判断一个数字是不是质数

    cin>>number;
    vector<int> dp(number + 1,0);   //dp向量。记录当糖果数量为i时能拿的糖果

    //求质数，并将所有质数保存到prime中
    int sqt1 = sqrt(number);
    for(int i = 2; i <= sqt1; ++i)
    {
        int sqt2 = sqrt(i);
        flag = true;
        for(int j = 2; j <= sqt2; ++j)
        {
            if(i % j == 0)
                flag = false;
        }
        if(flag == true)
            prime.push_back(i);

    }

    
    //处理dp向量
    for(int i = 1; i != number + 1; ++i)    //i代表dp的下标，代表糖果的数量
    {
        int sqt2 = sqrt(i);
        int _size = prime.size();
        for(int j = 0; j != _size; ++j)      //遍历整个质数的数组
        {
            if(prime[j] <= sqt2 && i % prime[j] == 0)  //如果这个质数小于等于根号下当前糖果的数量 且 是它的因数的话
            {
                dp[i] = max(dp[i],dp[i - 2 * prime[j]] + prime[j]);  //求最优解
            }
        }
    }

    cout<<dp[number];
    return 0;
}

c++代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using std::cout;
using std::cin;
using std::vector;
using std::max;

int main()
{
vector<int> prime;
//存放小于等于根号下 number 的所有质数
int number; //等待输入的总糖果数量
bool flag; //状态。判断一个数字是不是质数

cin>>number;
vector<int> dp(number + 1,0); //dp向量。记录当糖果数量为i时能拿的糖果

//求质数，并将所有质数保存到prime中
int sqt1 = sqrt(number);
for(int i = 2; i <= sqt1; ++i)
{
int sqt2 = sqrt(i);
flag = true;
for(int j = 2; j <= sqt2; ++j)
{
if(i % j == 0)
flag = false;
}
if(flag == true)
prime.push_back(i);

}

//处理dp向量
for(int i = 1; i != number + 1; ++i) //i代表dp的下标，代表糖果的数量
{
int sqt2 = sqrt(i);
int _size = prime.size();
for(int j = 0; j != _size; ++j) //遍历整个质数的数组
{
if(prime[j] <= sqt2 && i % prime[j] == 0) //如果这个质数小于等于根号下当前糖果的数量 且 是它的因数的话
{
dp[i] = max(dp[i],dp[i - 2 * prime[j]] + prime[j]); //求最优解
}
}
}

cout<<dp[number];
return 0;
}