UVA 11419 SAM I AM（最大二分匹配&最小点覆盖：König定理）

题意：在方格图上打小怪，每次可以清除一整行或一整列的小怪，问最少的步数是多少，又应该在哪些位置操作（对输出顺序没有要求）。

分析：最小覆盖问题

　　这是一种在方格图上建立的模型：令S集表示“行”，T集表示“列”，那么小怪站的位置w(i,j)，就是二分图上的边。如此建图，那么每次清除，就是把与某个点相连的边全部清除，问最少选择多少个点。（这也是最小点覆盖的概念：选择尽量少的点，使得每条边至少有一个端点被选中）

　　这里有一个König定理：最大二分匹配数==最小覆盖点数。

　　既然是求最小点覆盖，那么自然是选那些所连边数多的点，不过貌似不好安排啊？

　　先从简单问题开始讨论：找到必然要选的点。对于一棵树，为了覆盖到叶子节点所在的边，必须选择该条边上的两个端点之一。不用问，按照最小覆盖的原则，必然是要选非叶子节点了。把所有与选择的点相连的边都处理掉，就相当于是这棵树的最下面一层被砍掉了（叶子的爷爷成为了新的叶子）。那么对于剩下的树，仍然可以这样操作，最终得到了最小点覆盖。幸运的是，树属于二分图，而二分图虽然不一定是树（存在偶环），但可以构建出匈牙利树（交错树），是可以借鉴的。

　　聪明的地球人提出了如下算法：

　　对于一个二分图，求出其最大匹配。然后取左侧（S侧）所有的未匹配点，按照增广路算法，寻找交错路径（路径上的点都是匹配点），标记掉路径上的所有点（不存在重复标记）。那么左侧（S侧）所有的未标记点，与右侧（T侧）所有的标记点，就是实现最小点覆盖的点。

　　1、为什么这些点可以覆盖所有边？

　　如果还有没有覆盖的边，那么一定是一些左端点已标记，右端点未标记的边。而通过我们算法中的构造，不存在这样的边。为什么呢？回忆一下增广路算法，我们的起点选择的是S侧的未匹配点，之后选择一条边走到T侧（该点必然是匹配点）；因为要走交错路径，就沿着匹配边回到了S侧...可以想象成每次只是从S侧走到T侧，然后沿匹配边回到S侧。所以不存在S端已标记，T端未标记的线段。所以所有边都被覆盖了。

　　2、为什么这些点的在数量上等于最大二分匹配的边数？

　　因为每条匹配边上恰好选择一个点。为什么是这样呢？注意，最小点覆盖的点集包括：S侧的未标记点，和T侧的标记点。有增广路算法可知（同上一个问题相似），若T侧的点被标记，那么同一条匹配边上的S侧的点必然也被标记——点集中不包含同一条匹配边上的两个点。S侧的未标记点，实际上是除去未匹配点，以及跟随T侧点而被标记的点后，剩余的（即选择了那些T侧未被标记的匹配边）。所以两侧的点把所有的匹配边都包含了。所以最大二分匹配数==最小覆盖点数。

　　3、为什么这些点就是最小值？

　　这个问题最简单：及使图上只有n条匹配边，我们都要用n个点才能覆盖。若再少，至少漏掉一条匹配边。所以是最小值。

（注：难得自己动手改了张图...圆圈是覆盖点，方格是标记点，箭头是交错路径，蓝线是匹配边。）

可以看看这个链接，我认为上面的解释更通俗一些。

http://www.matrix67.com/blog/?s=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A6%86%E7%9B%96%E7%82%B9

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

const int MAXN=1111;

int n,m,cnt,ans;

vector<int>G[MAXN];
vector<int>row,col;

int left[MAXN],right[MAXN],S[MAXN],T[MAXN];

void init()
{
    rep(i,1,n)
        G[i].clear();
}

void read()
{
    int x,y;
    init();
    rep(i,1,cnt){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y);
    }
}

bool match(int u)
{
    S[u]=true;
    int sz=G[u].size();
    rep(i,0,sz-1){
        int v=G[u][i];
        if(!T[v]){
            T[v]=true;
            if(!left[v]||match(left[v])){
                left[v]=u;
                right[u]=v;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

void AP()
{
    rep(i,1,m)left[i]=0;//n和m写反了
    rep(i,1,n)right[i]=0;

    ans=0;
    rep(i,1,n){
        rep(j,1,n)S[j]=0;
        rep(j,1,m)T[j]=0;
        if(match(i))
            ans++;
    }
}

void mincover()
{
    rep(i,1,n)S[i]=0;//重新标记增广路
    rep(i,1,m)T[i]=0;

    rep(i,1,n)//选择S侧的未标记点
        if(!right[i])
            match(i);

    row.clear();
    col.clear();
    rep(i,1,n)
        if(!S[i])
            row.push_back(i);
    rep(i,1,m)
        if(T[i])
            col.push_back(i);
}

void print()
{
    printf("%d",ans);
int sz=col.size();
    rep(i,0,sz-1)
        printf(" c%d",col[i]);
     sz=row.size();
    rep(i,0,sz-1)
        printf(" r%d",row[i]);



    printf("
");
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&cnt))
    {
        if(!n&&!m&&!cnt)
            return 0;
        read();
        AP();
        mincover();
        print();
    }
    return 0;
}