BZOJ 4289: PA2012 Tax(最短路)

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Description

给出一个N个点M条边的无向图，经过一个点的代价是进入和离开这个点的两条边的边权的较大值，求从起点1到点N的最小代价。起点的代价是离开起点的边的边权，终点的代价是进入终点的边的边权

N<=100000

M<=200000

Input

Output

Sample Input

4 5
1 2 5
1 3 2
2 3 1
2 4 4
3 4 8

Sample Output

HINT

Source

这题居然卡long long，也是没谁了

首先一个很显然的思路是暴力拆边

即把每个点每一条入边和每一条出边的两两看做一个点，权值为两边的较大值

但是这样很显然是$O(m^2)$，肯定会GG

所以我们考虑一种神仙操作。

对于一条无向边，我们把它看成两条有向边

然后我们这样构图

1.对于一个点，我们把它的出边从小到大排序

2.枚举每一条边，如果这条边连接着1或者N，那么我们从S连向这条边或者从这条边连向T，权值为该边的权值

3.从改边所对应的入边向该边连一条边，边权为它们的权值

4.枚举每一条出边，从权值较小的向权值较大的连权值为两边差值的边，从权值较大的向权值较小的连权值为0的边

可能这样说不是很清楚，借鉴一下这位大佬的图

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define Pair pair<long long,int>
#define F first
#define S second
const int MAXN=2*1e6+10;
using namespace std;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
struct Edge
{
    int u,v,w,nxt;
}E[MAXN];
int headE[MAXN],numE=2;
inline void add_edge(int x,int y,int z)
{
    E[numE].u=x;
    E[numE].v=y;
    E[numE].w=z;
    E[numE].nxt=headE[x];
    headE[x]=numE++;
}
struct node
{
    int u,v,w,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN],num=2;
inline void AddEdge(int x,int y,int z)
{
    edge[num].u=x;
    edge[num].v=y;
    edge[num].w=z;
    edge[num].nxt=head[x];
    head[x]=num++;
}
int N,M,S,T;
int temp[MAXN];
long long  dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
void Dijstra()
{
    memset(dis,0xf,sizeof(dis));dis[S]=0;
    priority_queue<Pair>q;
    q.push(make_pair(0,S));
    while(q.size()!=0)
    {
        while(vis[q.top().second]&&q.size()>0) q.pop();
        long long  p=q.top().second;
        vis[p]=1;
        for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
            if(dis[edge[i].v]>dis[p]+edge[i].w)
                dis[edge[i].v]=dis[p]+edge[i].w,
                q.push(make_pair(-dis[edge[i].v],edge[i].v));
    }
    printf("%lld
",dis[T]);
}
int comp(const int &a,const int &b)
{
    return E[a].w<E[b].w;
}
int main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    memset(headE,-1,sizeof(headE));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    N=read();M=read();S=1,T=2*(M+1);
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add_edge(x,y,z);
        add_edge(y,x,z);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int tempnum=0;
        for(int j=headE[i];j!=-1;j=E[j].nxt)
            temp[++tempnum]=j;
        sort(temp+1,temp+tempnum+1,comp);
        for(int j=1;j<=tempnum;j++)
        {
            int x=temp[j],y=temp[j+1];
            if(E[x].u==1) 
                AddEdge(S,x,E[x].w);
            if(E[x].v==N) 
                AddEdge(x,T,E[x].w);
            AddEdge(x^1,x,E[x].w);
            if(j!=tempnum)
                AddEdge(x,y,E[y].w-E[x].w),
                AddEdge(y,x,0);
        }
    }
    Dijstra();
    return 0;
}