感觉这两个东西好鬼畜= = ，考场上出了肯定不会qwq。不过还是学一下吧用来装逼也是极好的
群的定义
与下文知识无关。。
给出一个集合$G = {a, b, c, dots }$和集合上的二元运算"$*$"，并满足
(1).封闭性：$forall a, b in G, exists c in G, a * b = c$
(2).结合律：$forall a, b, c in G, (a * b) * c = a * (b * c)$
(3).单位元：$exists e in G, forall a in G, a * e = e * a = a$
(4). 逆元：$forall a in G, exists b in G, a * b = b * a = e$，记$b = a^{-1}$
则称集合$G$在运算“$*$”之下是一个群，简称$G$是群
置换
$n$个元素， $1, 2, dots n$之间的一个置换$egin{pmatrix} 1 & 2 & ldots n \ a_{1} & a_{2} & ldots a_{n} end{pmatrix}$表示$1$被$1$到$n$中的某个数$a_1$取代，$1$被$1$到$n$中的某个数$a_2$取代，$dots$直到$n$被$1$到$n$中的某个数$a_n$取代，且$a_1, a_2, dots a_n$互不相同
置换群
置换群的标准定义涉及到新定义，在OI中你可以简单的认为
置换群的元素是置换，运算是置换的连接，
例如$$egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 3 & 1 & 2 & 4 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 4 & 3 & 2 & 1 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 2 & 4 & 3 & 1 end{pmatrix}$$
解释一下：
在第一个置换中，$1$变为$3$，第二个置换中$3$变为$2$，因此$1$先变为$3$再变为$2$
在第一个置换中，$2$变为$1$，第二个置换中$1$变为$4$，因此$2$先变为$1$再变为$4$
在第一个置换中，$3$变为$2$，第二个置换中$2$变为$3$，因此$3$先变为$2$再变为$3$
在第一个置换中，$4$变为$4$，第二个置换中$4$变为$1$，因此$4$先变为$4$再变为$1$
Burnside引理
设$G= {a_1,a_2, dots a_g}$是目标集$[1,n]$上的置换群，$D(a_i)$表示在置换$a_i$作用下不动点的个数。$L$表示本质不同的方案数，则
$$L = frac{1}{|G|} sum_{j = 1}^s D(a_j)$$
P♂lya定理
在Burnside引理中，$D(a_i)$，也就是不动点的个数往往不是很好计算。如果采用枚举每个元素的搜索算法，总时间复杂度为$O(nsp)$，其中$n$表示元素个数，$s$表示置换个数，$p$表示格子数
Polya定理对于特定的题目，提供了一种高效的计算方法
首先介绍一下循环的概念
$$left( a_{1}a_{2}ldots a_{n} ight) =egin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & ldots & a_{n-1}a_{n} \ a_{2} & a_{3} & ldots & a_{n}a_{1} end{pmatrix}$$
称为$n$阶循环。每个置换都可以写成若干不相交的循环的乘积，两个循环$(a_1, a_2, dots a_n)$和$(b_1b_2 dots b_n)$互不相交是指$a_i ot =b_j,i, j = 1,2, dots n$
例如
$$egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 end{pmatrix}=left( 13 ight) left( 25 ight) left( 4 ight)$$
解释一下，$1$先变成$3$，$3$再变成$1$，这样无限递归下去$(1,3)$便构成了一个循环
同理，$(2,5)$也会构成一个循环。
$4$只能变成自己，因此自己构成为一个循环
Polya定理：
设$G$是$p$个对象的一个置换群，用$m$种颜色涂染$p$个对象，则不同染色方案为$$L = frac{1}{|G|} (m^{c(g_1)} + m^{c(g_2)} + dots + m^{c(g_s)})$$
其中$G = {g_1, g_2, dots g_s }$，$c(g_i)$为置换$g_i$的循环节数$(i = 1, 2, dots s)$
Polya定理没有枚举元素，因此它的复杂度为$O(sp)$
但是它也有一定的限制条件，比如说某种颜色的不能选
这时候我们就需要利用一个高端操作(例如dp)，来推广Polya定理