斐波那契数列

(一)通项公式

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    n--;
    double q=sqrt(5.0);
    int ans;
    ans=((pow((1+q)/2.0,n)/q-(pow((1-q)/2.0,n)/n)));
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

(二)递归

　　递归是最慢的，它会发生重复计算，时间复杂度成指数级。

long long f(int n)
{
    if(n==0) return 0;
　　else if(n==1) return 1;
　　//else if(n==2) return 2;
　　else return f(n-1)+f(n-2);
}

　　但是通过记忆化搜索，能够将其复杂度降低为O(n)

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define M 100010

using namespace std;

bool v[M];//记忆化搜索 
long long f[M];//进行记录 

long long fb(int n)//递归 
{
    if(n==0) return 0;
    if(n==1) return 1;//边界 
    if(v[n]) return f[n];//记忆化搜索 
    f[n]=fb(n-1)+fb(n-2);//进行记录 
    return f[n];
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    cout<<fb(n);
    return 0;
}

(三)循环

　　利用临时变量来保存中间的计算过程，能够加快运算。

long long f(int n)
{
    long long a=1,b=2,c;
    if(n==1) return 1;
    if(n==2)return 2;
    else
    {
        for(int i=3; i<=n; i++)
        {
            c=a+b;
            a=b;
            b=c;
        }
    }
    return b;
}

(四)矩阵乘法+空间换时间(减少乘法，取模运算)

 　　数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)

　　 用矩阵表示为：

　　进一步，可以得出直接推导公式：

 　　由于矩阵乘法满足结合律，在程序中可以事先给定矩阵的64，32，16，8，4，2，1次方，加快程序的执行时间。（有些题目需要取模运算，也可以事先进行一下）。给定的矩阵次幂，与二进制有关是因为，如下的公式存在解，满足Xi={0或1}： 

为了保证解满足 Xi={0或1}，对上述公式的求解从右向左，即求解顺序为Xn，Xn-1,Xn-2,....,X1,X0。

　　完整代码

　　 实现如下：

/*求解f(n)%100000,其中n为大于等于3的正整数*/ 

#include<cstdio>
#include<cmath>

long long f_tmp[6][4]=
{  /*存放矩阵次幂*/
    /*位置：00 01 10 11*/
    {24578,78309,78309,46269},   //32次幂%100000
    {1597,987,987,610},  //16次幂%100000
    {34,21,21,13},   //8次幂%100000
    {5,3,3,2},   //4次幂%100000
    {2,1,1,1},   //2次幂%100000
    {1,1,1,0},   //1次幂%100000
};

void f(int k)
{ //k>=3
    int i;
    long long t00=1,t01=1,t10=1,t11=0;  //表示矩阵的1次幂
    long long a,b,c,d;
    k=k-3;  //公式中是n-2次幂，(t00,t01,t10,t11)表示1次幂。所以一共减3次
    for(i=k; i>=32; i=i-32)
    { //对于大于等于32的k;
        a=(t00*f_tmp[0][0]+t01*f_tmp[0][2])%100000;
        b=(t00*f_tmp[0][1]+t01*f_tmp[0][3])%100000;
        c=(t10*f_tmp[0][0]+t11*f_tmp[0][2])%100000;
        d=(t10*f_tmp[0][1]+t11*f_tmp[0][3])%100000;
        t00=a;
        t01=b;
        t10=c;
        t11=d;
    }
    i=4;
    while(i>=0)
    {  //对于小于32的k(16,8,4,2,1);
        if(k>=(long long)pow(2,i))
        { //如果k大于某一个2的次幂
            a=(t00*f_tmp[5-i][0]+t01*f_tmp[5-i][2])%100000; ///(5-i)：矩阵的2的i次幂在数组fac_tmp中的位置为fac_tmp[5-i]
            b=(t00*f_tmp[5-i][1]+t01*f_tmp[5-i][3])%100000;
            c=(t10*f_tmp[5-i][0]+t11*f_tmp[5-i][2])%100000;
            d=(t10*f_tmp[5-i][1]+t11*f_tmp[5-i][3])%100000;
            t00=a;
            t01=b;
            t10=c;
            t11=d;
            k=k-(int)pow(2,i);
        }
        i--;
    }
    a=(t00*2+t01*1)%100000;
    printf("%lld
",a);
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    f(n);
    return 0;
}

 codevs题目直通：

http://codevs.cn/problem/1250/

代码=u=

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

void multi(int a[2][2],int b[2][2],int q)//前缀 
{
    int c[2][2];
    memset(c,0,sizeof(c));//进行初始化清空，因为不只有一组数据，有t组 
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            for(int k=0;k<2;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%q)%q;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            a[i][j]=c[i][j];
}

void fastpow(int n,int q)
{
    int result[2][2]={1,0,1,0};
    int a[2][2]={1,1,1,0};
    while(n)//如果n不为0，一直做下面的循环 
    {
        if(n&1)//表明如果它是奇数 
          multi(result,a,q);
        multi(a,a,q);
        n>>=1;//位运算，相当于n/2 
    }
    int ans=result[0][1]%q;
    cout<<ans<<endl;
}
int main ()
{
    int t;//给出(t)多组数据 
    int n,q;//第几项，模几 
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>q;
        n++;//因为斐波那契数列是从第0项开始的 
        fastpow(n,q);//快速幂 
    }
    return 0;
}

洛谷题目直通

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1962#sub

代码=v=

#include<iostream>
#include<cstring>
#define Mod 1000000007LL
#define LL long long

using namespace std;

void multi(LL a[2][2],LL b[2][2])//前缀 
{
    LL c[2][2];
    memset(c,0,sizeof(c));//进行初始化清空，因为不只有一组数据，有t组 
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            for(int k=0;k<2;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%Mod)%Mod;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            a[i][j]=c[i][j];
}

void fastpow(LL n)
{
    LL result[2][2]={1,0,1,0};
    LL a[2][2]={1,1,1,0};
    while(n)//如果n不为0，一直做下面的循环 
    {
        if(n&1)//表明如果它是奇数 
          multi(result,a);
        multi(a,a);
        n>>=1;//位运算，相当于n/2 
    }
    LL ans=result[0][1]%Mod;
    cout<<ans;
}
int main ()
{ 
    LL n;//第几项 
    cin>>n;
    fastpow(n);
    return 0;
}