BZOJ1831: [AHOI2008]逆序对

1831: [AHOI2008]逆序对

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Description

小可可和小卡卡想到Y岛上旅游，但是他们不知道Y岛有多远。好在，他们找到一本古老的书，上面是这样说的：下面是N个正整数，每个都在1~K之间。如果有两个数A和B，A在B左边且A大于B，我们就称这两个数为一个“逆序对”。你数一数下面的数字里有多少个逆序对，你就知道Y岛离这里的距离是多少千米了。比如说，4 2 1 3 3里面包含了5个逆序对：(4, 2), (4, 1), (4, 3), (4, 3), (2, 1)。可惜的是，由于年代久远，这些数字里有一部分已经模糊不清了，为了方便记录，小可可用“-1”表示它们。比如说，4 2 -1 -1 3 可能原来是4 2 1 3 3，也可能是4 2 4 4 3，也可能是别的样子。小可可希望知道，根据他们看清楚的这部分数字，能不能推断出这些数字里最少能有多少个逆序对。

Input

第一行两个正整数N和K。第二行N个整数，每个都是-1或是一个在1~K之间的数。

Output

一个正整数，即这些数字里最少的逆序对个数。

Sample Input

5 4
4 2 -1 -1 3

Sample Output

HINT

4 2 4 4 3中有4个逆序对。当然，也存在其它方案得到4个逆序对。

数据范围：
100%的数据中，N<=10000，K<=100。
60%的数据中，N<=100。
40%的数据中，-1出现不超过两次。

Source

Day1

题外话：

｛

刚开始看错题了，看成100%数据-1不超过2个，于是想这不是sb暴力吗？于是就开始敲代码，敲完之后就悲剧了。。。

结果发现不会做。。。

一看题解忽然明白了，我靠怎么还有这样一个性质，那就是 DP了。。。自己想的时候没想到DP QAQ。。。

｝

题解：考虑一般情况 -1有很多，爆搜就不行了，那么应该如何下手呢？

联想学过的知识，大概只有DP可以用了

但怎么DP呢？

这些填的数应该有什么性质---一列数能有什么性质？大概就是递增递减吧。。。

（吐槽：这思路也太牵强了吧。。。回答：。。。。。。）

下面我们考虑两个空 a，b ，分别填上了x，y (假设只有两个空，并且x>y）

如果我们交换 x 和 y 那么会有这样几条性质：

1.[1,a-1]，[b+1,n]中的数与x，y构成的逆序对没有发生改变

2.[a+1,b-1]中 >max(x，y)的数与x，y构成的逆序对没有发生改变

3.[a+1,b-1]中 < min(x，y)的数与x，y构成的逆序对没有发生改变

4.[a+1,b-1]中处于区间(x,y)的数不再与x，y构成逆序对

5.x，y不再构成逆序对

也就是说我们交换x，y得到的答案一定会减小！

稍微推广一下就是这些填的数单调递增，但不一定是严格的

考虑实现

for i=1 to n do

for j=1 to k do

for p=1 to j do

f[i,j]=min(f[i,j],f[i-1,p]+cost(i,j))

NO NO NO

既然考虑到cost(i,j)是固定的，我们只需要求f[i-1,1],f[i-1,2]......f[i-1,j]的最小值即可

前缀最小值优化！类似于前缀和。。。

这样状态数一共有O(N*K)个，每个状态的转移的复杂度为O(1)

代码：

 1 var f,g,big,sma:array[0..150000,0..150] of longint;
 2     ans,i,j,n,tot,k:longint;
 3     a,b:array[0..150000] of longint;
 4     function min(x,y:longint):longint;
 5      begin
 6       if x<y then exit(x) else exit(y);
 7      end;
 8 procedure init;
 9  begin
10   readln(n,k);tot:=0;
11   for i:=1 to n do
12    begin
13     read(a[i]);
14     if a[i]=-1 then begin inc(tot);b[tot]:=i;end;
15    end;
16  end;
17 procedure main;
18  begin
19   fillchar(big,sizeof(big),0);
20   for i:=1 to n do
21    for j:=1 to k do big[i,j]:=big[i-1,j]+ord(a[i]>j);
22   fillchar(sma,sizeof(sma),0);
23   for i:=n downto 1 do
24    for j:=1 to k do sma[i,j]:=sma[i+1,j]+ord((a[i]<j) and (a[i]<>-1));
25   fillchar(f,sizeof(f),0);
26   for i:=1 to tot do
27    begin
28     f[i,1]:=f[i-1,1]+big[b[i],1]+sma[b[i],1];
29     g[i,1]:=f[i,1];
30     for j:=2 to k do
31       begin
32        f[i,j]:=g[i-1,j]+big[b[i],j]+sma[b[i],j];
33        g[i,j]:=min(g[i,j-1],f[i,j]);
34       end;
35    end;
36   ans:=maxlongint;
37   for i:=1 to k do ans:=min(ans,f[tot,i]);
38   for i:=1 to n do inc(ans,big[i,a[i]]);
39   writeln(ans);
40  end;
41 begin
42   assign(input,'input.txt');assign(output,'output.txt');
43   reset(input);rewrite(output);
44   init;
45   main;
46   close(input);close(output);
47 end.
48

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