BZOJ3143: [Hnoi2013]游走

3143: [Hnoi2013]游走

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Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

Source

非官方数据

题解:

这题不会做是因为没有碰见过这种题，无向图的点的期望经过次数居然是用高斯消元来解的，真是个巧妙的算法。

很容易想到贪心的来将期望经过次数小的边分上较大的标号，而边的期望经过次数又可以转化为点的期望经过次数

令x[i]为i的期望经过次数，则x[i]=sigma(x[j]/d[j]) i,j有边相连d[j]表示j的度数

特别的我们有 x[1]=1+sigma(x[j]/d[j]) x[n]=0

所以问题就成了一个高斯消元了。

代码：

  1 #include<cstdio>
  2 
  3 #include<cstdlib>
  4 
  5 #include<cmath>
  6 
  7 #include<cstring>
  8 
  9 #include<algorithm>
 10 
 11 #include<iostream>
 12 
 13 #include<vector>
 14 
 15 #include<map>
 16 
 17 #include<set>
 18 
 19 #include<queue>
 20 
 21 #include<string>
 22 
 23 #define inf 1000000000
 24 
 25 #define maxn 500+100
 26 
 27 #define maxm 250000+10000
 28 
 29 #define eps 1e-10
 30 
 31 #define ll long long
 32 
 33 #define pa pair<int,int>
 34 
 35 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
 36 
 37 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
 38 
 39 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
 40 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
 41 
 42 using namespace std;
 43 
 44 inline int read()
 45 
 46 {
 47 
 48     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 49 
 50     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
 51 
 52     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
 53 
 54     return x*f;
 55 
 56 }
 57 int n,m,d[maxn],u[maxm],v[maxm];
 58 double a[maxn][maxn],x[maxn],w[maxm];
 59 bool f[maxn][maxn];
 60 void gauss()
 61 {
 62     for1(i,n-1)
 63     {
 64         int k=i;
 65         for2(j,i+1,n)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[k][i]))k=j;
 66         for2(j,i,n+1)swap(a[i][j],a[k][j]);
 67         for2(j,i+1,n)
 68         {
 69             double tmp=a[j][i]/a[i][i];
 70             for2(k,i,n+1)a[j][k]=a[i][k]*tmp-a[j][k];
 71         }
 72     }
 73     x[n]=a[n][n+1]/a[n][n];
 74     for3(i,n-1,1)
 75     {
 76         double tmp=0;
 77         for2(j,i+1,n)tmp+=x[j]*a[i][j];
 78         x[i]=(a[i][n+1]-tmp)/a[i][i];
 79     }
 80 }
 81 
 82 int main()
 83 
 84 {
 85 
 86     freopen("input.txt","r",stdin);
 87 
 88     freopen("output.txt","w",stdout);
 89 
 90     n=read()-1;m=read();
 91     for1(i,m)
 92     {
 93         int x=u[i]=read(),y=v[i]=read();
 94         f[x][y]=f[y][x]=1;d[x]++;d[y]++;
 95     }
 96     for1(i,n)
 97     {
 98         a[i][i]=1.0;
 99         for1(j,n)if(f[i][j])a[i][j]=-1.0/(d[j]*1.0);
100     }    
101     a[1][n+1]=1.0;
102     gauss();
103     for1(i,m)w[i]=x[u[i]]/(d[u[i]]*1.0)+x[v[i]]/(d[v[i]]*1.0);
104     sort(w+1,w+m+1);
105     double ans=0.0;
106     for1(i,m)ans+=w[i]*(m+1-i);
107     printf("%.3lf
",ans);
108 
109     return 0;
110 
111 }

View Code

另外还要注意高斯消元的精度问题，是这样

for2(j,i+1,n)
        {
            double tmp=a[j][i]/a[i][i];
            for2(k,i,n+1)a[j][k]=a[i][k]*tmp-a[j][k];
        }

而不是

tmp=a[i][i]/a[j][i]

因为a[j][i]可能为0，而我们事先选取了一个绝对值最大的就是为了让a[i][i]!=0，好在这里作分母。