加分二叉树 树形DP

题意/Description：

    设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下： 
  subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数 
  若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 
    试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出； 
      （1）tree的最高加分 
      （2）tree的前序遍历 

 

读入/Input：

    第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。 

    第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。 

 

输出/Output：

    第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。 
    第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。 

 

题解/solution：

   很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：

       F[l,r]=max{f[l,r],f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i]}

    题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组g[i,j]表示。记录很简单，大家都会的啦。

代码/Code：

var
  g:array [0..51,0..51] of longint;
  f:array [0..51,0..51] of int64;
  a:array [0..51] of longint;
  n:longint;
procedure doit(l,r:longint);
var
  i:longint;
begin
  if f[l,r]>0 then exit;
  if l=r then
    begin
      f[l,r]:=a[l];
      g[l,r]:=l;
      exit;
    end;
  if l>r then
    begin
      f[l,r]:=1;
      exit;
    end;
  for i:=l to r do
    begin
      doit(l,i-1);
      doit(i+1,r);
      if f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i]>f[l,r] then
        begin
          f[l,r]:=f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i];
          g[l,r]:=i;
        end;
    end;
end;

procedure show(l,r:longint);
begin
  if l<=r then
    begin
      write(g[l,r],' ');
      show(l,g[l,r]-1);
      show(g[l,r]+1,r);
    end;
end;

procedure init;
var
  i:longint;
begin
  readln(n);
  for i:=1 to n do
    read(a[i]);
  fillchar(f,sizeof(f),0);
  fillchar(g,sizeof(g),0);
end;

begin
  init;
  doit(1,n);
  writeln(f[1,n]);
  show(1,n);
end.