题解
首先,答案肯定等于(sum w_i) 乘上一个系数(P)
那么我们只要求这个系数是多少
注意到,(W(S)=|S|sum_{x∈S}w_x)
那么等于(x)对集合中每个元素贡献了(1)次
那么系数(P)就等于一个数被贡献了多少次
显然,自己对自己的贡献是(S(n,k))
其它数的贡献为(S(n-1,k))
所以(P=(n-1)*S(n-1,k)+S(n,k))
然后有个推式子的做法。。
(P=sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1}){^{n-i}_{k-1}})
(=sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})sum_{j=0}^{k-1}frac{(-1)^j}{(k-1)!}frac{(k-1)!}{j!(k-1-j)!}(k-1-j)^{n-i})
(=sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})sum_{j=0}^{k-1}frac{(-1)^j}{j!}frac{(k-1-j)^{n-i}}{(k-1-j)!})
(=sum_{j=0}^{k-1}frac{(-1)^j}{j!(k-1-j)!}sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i})
我们推后面的部分(sum_{i=1}^ni(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i})
(=sum_{i=1}^{n}(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}+sum_{i=1}^n(i-1)(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i})
(=sum_{i=1}^n(^{n-1}_{i-1})(k-1-j)^{n-i}+(n-1)sum_{i=1}^n(^{n-2}_{i-2})(k-1-j)^{n-i})
(=(k-j)^{n-1}+(n-1)(k-j)^{n-2})
然后就可以随便算了