zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 常系数齐次线性微分方程

    二阶 变系数 齐次 线性微分方程:y''+P(x)y'+Q(x)y=0  _齐次就是右边等于0,P(x),Q(x)不是常数。

    二阶 常系数 齐次 线性微分方程  y''+py'+qy=0  _其中p,q是常数。

    假如y1,y2是y''+py'+qy=0 的解,那么通解的形式就是 C1y1+C2y2 = y

    由于假如y=erx  y'=rerx  y''=r2erx 

    代入y''+py'+qy= r2erx + prerx + qerx = erx(r2+pr+q) = 0

    所以 r2+pr+q=0

    情况1  r2+pr+q=0 有两个不同的解,即 p2 - 4q>0 

    可解r1,r2。  C1er1x+C2er2x = Y

    情况2  r2+pr+q=0 有相同的解r1=r2,即 p2 - 4q = 0

    r1=er1x1   既然y2/y1=u(x)  

    y2=u(x) er1x  

    y2'=(u'+r1u) er1x  

    y2''= (u''+r1u')er1x+r1(u'+r1u) er1x = (u''+2r1u'+r12u)er1x

    代入y''+py'+qy=0   

    quer1x + p(u'+r1u) er1x+(u''+2r1u'+r12u)er1x =0 -> er1x (qu+p(u'+r1u)+ (u''+2r1u'+r12u) )=0

    -> u(q+r1p+r12)+u'(p+2r1)+u''=0 -> u''=0  

    所以u' = C  u=Cx 且取 u=x!  所以y2=xer1x 

     Y=C1er1x  + C2xer1x 

    情况3  r2+pr+q=0 有一对共轭解r1=a+pi   r2=a-pi  即 p2 - 4q < 0 

    此时本应该 y1=er1x=e(a+pi)x   y2=e(a-pi)x  但这种形式不好!

    要用 eio=cos(o)+isin(o)  结果得到y1=eax epix=eax(cos(px)+isin(px)) y2同理

    最后y1 y2处理

    Y1=(y1+y2)/2=eax cos(px)  

    Y2=(y1-y2)/2=eax sin(px)

    Y=C1Y1+C2Y2=eax (C1cos(px)  + C2sin(px))

  • 相关阅读:
    jax + php 写入数据库最简单实例
    JavaScript--水平幻灯片
    深入理解CSS3 gradient斜向线性渐变
    js基础-1
    html5 Canvas 如何自适应屏幕大小
    清除浮动塌陷
    spring MVC配置
    dom4j使用
    Visio绘制时序图
    Eclipse中引来的jar包乱码
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zzzPark/p/6593953.html
Copyright © 2011-2022 走看看