「Luogu P5621」[DBOI2019]德丽莎世界第一可爱

Description

（简化题意）

给定 (n) 个四维点，第 (i) 个点为 ((x_i,y_i,z_i,t_i)) 。

每个点都带有一个点权，第 (i) 个点的点权为 (w_i)。

对于一个合法的路径，满足经过的点的四个坐标全部单调不降。

路径的权定义为该路径所经过点的权值和。

求合法路径权的最大值。

Hint

(1le nle 5 imes 10^4)，答案在 C++ 的 long long 范围内。

Solution

显然可以先按第一维（ (x) ）升序排序，然后动态规划：

设 (f_i) 为前 (i) 个点构成合法路径所能得到路径权的最大值。

状态转移显而易见：

[f_i = max{ f_j | i < j , y_i ge y_j , z_ige z_j , t_ige t_j } + w_i ]

但这样直接做的时间复杂度是 (Theta(n^2)) 的，过不了。

我们观察到 状态转移方程中的限制条件 (y_i ge y_j , z_ige z_j , t_ige t_j) 是不是有点像偏序问题？

那么就可以使用 CDQ 分治 或 K-D Tree 了。这里放一个 kdt 的，cdq 这个坑留给之后的题解。

kdt 结点需要存储的信息：

• 左右儿子结点的编号，包含这整个子树的矩形的信息，子树大小（重构用），这个结点代表的三维点（排序已经降低了 1 维），其中点带权。 这些都是 kdt 维护的常规信息

• 整个子树中所有点的点权的最大值。

我们可以把每次更新 (f_i) 的值，换做 将第 (i) 个点，以 (f_i) 为点权插入到 kdt 中。

那么还有就是求 (f_i) 的值。我们在 kdt 中找出所有满足 (y_i ge y_j , z_ige z_j , t_ige t_j) 的 (j) 然后对其 kdt 中的点权求最值就可以完成了。

在查询时还有一个剪枝技巧，细节详见代码。

Code

/*
 * Author : _Wallace_
 * Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
 * Problem : Luogu P5621 [DBOI2019]德丽莎世界第一可爱
 */
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;

namespace fastIO_int{
	inline long long get_ll()
	{
		long long x=0;int f=1;char c=getchar();
		while(c<'0'||c>'9')
		{
			if(c=='-')f=-1;
			c=getchar();
		}
		while(c>='0'&&c<='9')
			x=x*10+c-'0',c=getchar();
		return f*x;
	}
	
	void read(){}
	template<class T1,class ...T2>
	void read(T1 &i,T2&... rest)
	{
		i=get_ll();
		read(rest...);
	}
	
	void put_ll(long long x)
	{
		if(x<0)putchar('-'),x=-x;
		if(x>9)put_ll(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
	
	void write(){}
	template<class T1,class ...T2>
	void write(T1 i,T2... rest)
	{
		put_ll(i),putchar(' ');
		write(rest...);
	}
};
using fastIO_int::read;
using fastIO_int::write;

const int N=5e4+5;
const int K=3;
struct Point{
	long long dat[K];
	long long val;
};

struct Node{
	int ch[2];
	long long Max[K],Min[K];
	long long maxv;
	int size;
	Point p;
}t[N];
#define lc(u) t[u].ch[0]
#define rc(u) t[u].ch[1]
int root=0;
int total=0;
stack<int> pool;

inline int create()
{
	if(!pool.empty())
	{
		int ret=pool.top();
		return pool.pop(),ret;
	}
	return ++total;
}
inline void maintain(int u)
{
	for(register int i=0;i<K;i++)
	{
		t[u].Max[i]=t[u].Min[i]=t[u].p.dat[i];
		if(lc(u))
		{
			t[u].Max[i]=max(t[u].Max[i],t[lc(u)].Max[i]);
			t[u].Min[i]=min(t[u].Min[i],t[lc(u)].Min[i]);
		}
		if(rc(u))
		{
			t[u].Max[i]=max(t[u].Max[i],t[rc(u)].Max[i]);
			t[u].Min[i]=min(t[u].Min[i],t[rc(u)].Min[i]);
		}
	}
	t[u].maxv=max(t[u].p.val,max(t[lc(u)].maxv,t[rc(u)].maxv));
	t[u].size=t[lc(u)].size+t[rc(u)].size+1;
}

namespace rebuild
{
	const double A=0.75;
	Point pnt[N];
	int dim,len;
	bool cmp(const Point &x,const Point &y){
		return x.dat[dim]<y.dat[dim];
	}
	int build(int l,int r,int d)
	{
		if(l>r) return 0;
		int mid=(l+r)>>1,u=create();
		dim=d,nth_element(pnt+l,pnt+mid,pnt+r+1,cmp);
		t[u].p=pnt[mid];
		lc(u)=build(l,mid-1,(d+1)%3);
		rc(u)=build(mid+1,r,(d+1)%3);
		return maintain(u),u;
	}
	void travel(int u)
	{
		if(!u) return;
		travel(lc(u));
		pnt[++len]=t[u].p;
		pool.push(u);
		travel(rc(u));
	}
	bool balance(int u)
	{
		if(double(t[lc(u)].size)>=A*double(t[u].size)) return 0;
		if(double(t[rc(u)].size)>=A*double(t[u].size)) return 0;
		return 1;
	}
	void work(int &u,int d)
	{
		if(balance(u)) return;
		len=0,travel(u);
		u=build(1,len,d);
	}
}

void insert(Point p,int &u=root,int d=0)
{
	if(!u)
	{
		t[u=create()].p=p;
		return maintain(u);
	}
	if(p.dat[d]<=t[u].p.dat[d]) insert(p,lc(u),(d+1)%3);
	else insert(p,rc(u),(d+1)%3);
	maintain(u),rebuild::work(u,d);
}
bool inside(Point p,int u)
{
	for(register int i=0;i<K;i++)
		if(p.dat[i]<t[u].Max[i]) return 0;
	return 1;
}
bool outside(Point p,int u)
{
	for(register int i=0;i<K;i++)
		if(p.dat[i]<t[u].Min[i]) return 1;
	return 0;
}
bool check_in(Point p,Point q)
{
	for(register int i=0;i<K;i++)
		if(p.dat[i]<q.dat[i]) return 0;
	return 1;
}
void query(Point p,long long &ret,int u=root)
{
	if(!u||outside(p,u)) return;
	if(ret>=t[u].maxv) return;//剪枝：如果找过的答案已经不小于这个子树的点权最大值，那么这个子树也不可能对答案产生贡献，故直接 return。
	if(inside(p,u)) return void(ret=max(ret,t[u].maxv));
	if(check_in(p,t[u].p)) ret=max(ret,t[u].p.val);
	query(p,ret,lc(u)),query(p,ret,rc(u));
}
#undef lc
#undef rc

struct Item{
	long long H,rec;
	Point p;
	void read_data(){
		read(H);
		for(register int i=0;i<K;i++)
			read(p.dat[i]);
		read(rec);
	}
	bool operator <(const Item &t)const{
		if(H!=t.H) return H<t.H;
		for(register int i=0;i<K;i++)
		{
			if(p.dat[i]<t.p.dat[i]) return true;
			if(p.dat[i]>t.p.dat[i]) return false;
		}
		return false;
	}
}itm[N];
int n;
signed main()
{
	read(n);
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		itm[i].read_data();
	sort(itm+1,itm+1+n);
	long long ans=0ll;
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	{
		long long temp=0;
		query(itm[i].p,temp);
		temp+=itm[i].rec;
		ans=max(ans,temp);
		itm[i].p.val=temp;
		insert(itm[i].p);
	}
	write(ans);
	return 0;
}

如果您还觉得慢的话，这里还有一个优化技巧：

我们不妨将整棵树建好（就这 (n) 个点，没跑），初始所有点权为 (0) ，插入操作则以 修改 代替。这样既不会导致树不平衡，也不需要任何重构了。

代码 spfa 了 这个应该可以自己写出来。