最近公共祖先-----模板

最近公共祖先（LCA）：

就是两个点在这棵树上距离最近的公共节点。

适用条件：

LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。一般节点数比较多，用最短路径的方法去解题一般会暴内存或暴空间

 

应用场景：

有一个性质，假设节点B和C的最近公共祖先是A，那么对于整个树的根节点D，

都有：|BD|+|CD|-|AD|*2=|BC|

用上述性质可以用来求BC两点之间的最短路径，前提是满足上面的使用条件（两点之家仅有唯一一条确定的路径）

 

如何求最近公共祖先

常用求LCA的算法有两种，即离线和在线两种算法，时间复杂度分别为O(n+q)、O(nlogn)。离线算法更好理解，代码量较少，用的比较多

在线算法有两种，RMQ和倍增。在线算法是输入一次询问处理一次，比离线算法更灵活，但是费时间。离线算法是一次性输入询问，将询问保存起来一次性处理，最后在一次性输出，时间复杂度更底。

 

一、离线算法

基本思路：

1.任选一个点为根节点,记为u，从根节点开始。

　　　 2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。（正向遍历到底）

　　　 3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。

　　　 4.合并v到u上。

　　　 5.寻找与当前点u有询问关系的点v。（反向遍历到询问结束）。

如果节点v已经被访问过（vis标记过），那么u,v的最近共公共祖先就是点v的根节点，即  LCA(u,v)=fa(v)。

如果节点v未曾被访问过，跳过搜下一个点，当搜到点v时，在处理和点v有询问关系的点u，此时u,v的最近公共祖先就是点u的根节点，即LCA（u,v）=fa(u)。

 

eg:

 

假设遍历完10的孩子,要处理关于10的请求了
取根节点到当前正在遍历的节点的路径为关键路径,即1-3-8-10
集合的祖先便是关键路径上距离集合最近的点
比如此时:
    【1,2,5,6】为一个集合,祖先为1,集合中点和10的LCA为1
    【3,7】为一个集合,祖先为3,集合中点和10的LCA为3
    【8,9,11】为一个集合,祖先为8,集合中点和10的LCA为8
    【10,12】为一个集合,祖先为10,集合中点和10的LCA为10

 

可以发现集合的祖先便是LCA ！

 

伪代码：

Tarjan(u)//join和find为并查集合并函数和查找函数
{
    for u节点的所有子节点    //访问所有u子节点v
    {
        Tarjan(v);        //继续往下遍历
        join(u,v);    //合并v到u上
        标记v被访问过;
    }
    for 查询节点的所有子节点    //访问所有和u有询问关系的e
    {
        如果e被访问过;
        u,e的最近公共祖先为find(e);
    }
}

没看懂？模拟过程：https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html

 

模板题：求最近祖先节点  https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11012695.html

模板题应用：求两点之间最短距离  https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11065033.html

 

二、在线算法：