贝叶斯决策和MAP分类器
后验概率 p(Ci|x) 表达给定模式 x 属于类 Ci 的概率。
模式 x 属于类 Ci 的后验概率计算公式为：
MAP分类器：将测试样本决策分类给后验概率最大的那个类。
判别公式：
对于二分类问题，MAP分类器的决策边界：
单维空间：通常有两条决策边界。
高维空间：复杂的非线性边界。
决策误差：
决策风险和贝叶斯分类器
决策风险的概念：不同的决策错误会产生程度不同的风险。
损失：
决策风险的评估：
贝叶斯分类器：
选择决策风险最小的类。
判别公式：
决策损失：
简化特征维度：
最大似然估计
定义：
- 待学习的概率密度函数记为 p(x | θ)，θ 是待学习的参数。
- 给定的 N 个训练样本都是从 p(x | θ) 采样得到的，且满足iid条件，则所有样本的联合概率密度（似然函数）为：
- 因此，学习参数 θ 的目标函数可以设计为：使该似然函数最大。
贝叶斯估计
贝叶斯估计：给定参数 θ 分布的先验概率以及训练样本，估计参数 θ 分布的后验概率。
θ 的后验概率：
KNN估计
给定 N 个训练样本，在特征空间内估计每个任意取值 x 的概率密度，即估计以 x 为中心，在极小的区域 R = (x, x+δx) 内的概率密度 p(x)
其中 k 为落入区域 R 的样本个数，V 为区域 R 的体积。
直方图
直方图也是基于无参数概率估计的基本原理：p ≈ k/(NV)
将特征空间划分为 m 个区域R。
给定任意模式，先判断它属于哪个区域，p(x) = ki/(NV), if x ∈ Ri
优点：
- 固定区域 R：减少由于噪声污染造成的估计偏差。
- 不需要存储训练样本。
缺点：
- 固定区域 R 的位置：如果模式 x 落在相邻格子的交界区域，意味着当前格子不是以模式 x 为中心，导致统计和概率估计不准确。
- 固定区域 R 的大小：缺乏概率估计的自适应能力，导致过于尖锐或平滑。