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  • Fermat vs. Pythagoras POJ

    题意:(a, b, c)为a2+b2=c2的一个解,那么求gcd(a, b, c)=1的组数,并且a<b<c<=n,和不为解中所含数字的个数,比如在n等于10时,为1, 2, 7,9则输出4.

    好了!把所用知识点说一下:

    数论之勾股数组(毕达哥拉斯三元组)

    本原勾股数组(a,b,c)(a为奇数,b偶数)都可由如下公式得出:a=st,b=(s²-t²)/2, c = (s²+t²)/2, 其中s>t>=1是没有公因数的奇数。

    再把勾股数公式拿过来:

    套路一:

    a为大于1的奇数2n+1时,b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

    实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:

    n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

    n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

    n=3时(a,b,c)=(7,24,25) [1]  ... ...

     

    这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 [1] 

    套路二:

    2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1

    也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:

    n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

    n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

    n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

    n=6时(a,b,c)=(12,35,37) [1] 

    代码:(注意运算过程中的溢出)

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #define ll long long
    int vis[1000005];
    
    ll gcd(ll a, ll b)
    {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
    }
    
    int main()
    {
        int n;
        while (scanf("%d", &n) != EOF)
        {
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            int ans1 = 0, ans2 = 0;
            for (ll s = 3; s <= n;s+=2)
            for (ll t = 1; t < s; t += 2)
            {
                if (gcd(s, t) == 1 && (s*s + t*t) / 2 <= n)
                {
                    ++ans1;
                    int a = s*t, b = (s*s - t*t) / 2, c = (s*s + t*t) / 2;
                    for (ll i = 1; i*c <= n; ++i)
                        vis[i*a] = vis[i*b] = vis[i*c] = 1;
                }
            }
            for (int i = 1; i <= n;++i)
            if (vis[i] == 0)++ans2;
            printf("%d %d
    ", ans1, ans2);
        }
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ALINGMAOMAO/p/9756204.html
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