LA 4119 (差分数列 多项式) Always an integer

题意：

给出一个形如(P)/D的多项式，其中P是n的整系数多项式，D为整数。

问是否对于所有的正整数n，该多项式的值都是整数。

分析：

可以用数学归纳法证明，若P(n)是k次多项式，则P(n+1) - P(n)为k-1次多项式。

P是n的一次多项式时，P是一个等差数列，只要验证P(1)和P(2)是D的倍数即可。

P是n的二次多项式时，只要验证第一项为D的倍数，且相邻两项的差值也是D的倍数即可。相邻两项的差值为一次多项式，所以要验证两项，加上前面验证的第一项，所以共验证P(1)、P(2)和P(3)三项。

一般地，要验证k次多项式，只要验证P(1)...P(k+1)即可。

计算多项式的值可以用高中数学课本讲到过的秦九韶算法。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
int a[maxn], p;//a[i]表示n^i对应的系数，p为最高系数

void parse_polynomial(string s)
{
    int i = 0, len = s.size();
    while(i < len)
    {
        int sign = 1;
        if(s[i] == '+') i++;
        if(s[i] == '-') { i++; sign = -1; }
        int v = 0;//系数
        while(i < len && isdigit(s[i])) v = v * 10 + s[i++] - '0';
        v *= sign;
        if(i == len) a[0] = v;//常数项
        else
        {
            if(v == 0) v = sign;
            int u = 1;//没有指数
            if(s[++i] == '^')//有指数
            {
                u = 0;
                i++;
                while(isdigit(s[i])) u = u * 10 + s[i++] - '0';
            }
            a[u] = v;
            if(u > p) p = u;
        }
    }
}

int mod(int x, int MOD)
{
    int ans = 0;
    for(int i = p; i >= 0; i--)
    {
        ans = (long long) ans * x % MOD;//注意不要溢出
        ans = ((long long) ans + a[i]) % MOD;
    }
    return ans;
}

bool check(string& expr)
{
    int p = expr.find('/');
    parse_polynomial(expr.substr(1, p-2));
    int D = atoi(expr.substr(p+1).c_str());
    for(int i = 1; i <= p+1; i++)
        if(mod(i, D) != 0) return false;
    return true;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);

    int kase = 1;
    string expr;
    while(cin >> expr)
    {
        if(expr[0] == '.') break;
        memset(a, 0, sizeof(a));
        p = 0;
        printf("Case %d: %s
", kase++, check(expr) ? "Always an integer" : "Not always an integer");
    }

    return 0;
}