数论

中国剩余定理分析

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

     首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

     有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

     这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

     以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1. 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2. 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3. 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

    因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

    所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

    这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

    最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

 经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

1. 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

3. 数学分析

   用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
   
   有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
   中国剩余定理说明：假设整数m₁,m₂, ... ,m_n两两互质，则对任意的整数：a₁,a₂, ... ,a_n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
   设 是整数m₁,m₂, ... ,m_n的乘积，并设是除了m_i以外的n- 1个整数的乘积设 为模的数论倒数(为模意义下的逆元)
    

   

   方程组的通解形式为

   在模

   的意义下，方程组

   只有一个解：

   

    

    

    

    

   模p余a,p两两互质
   void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x.ll &y){
       if (!b){
           d=a;
           x=1;
           y=0;return ;
       }
       exgcd(b,a%b,d,y,x);
       y-=a/b*x;
   }
   ll inv(ll a,ll p){
       ll d,x,y;
       exgcd(a,p,d,x,y);
       return d==1?(x%p+p)%p:-1;
   }
   ll CRT(){
       ll ret=0,lcm=1;
       for (int i=1;i<=n;i++){
           lcm=lcm*p[i];
       }
       for (int i=1;i<=n;i++){
           ll x=lcm/p[i];
           ll k=inv(x,p[i]);
           ret=(ret+a[i]*x*k)%lcm;
       }
       return ret;
   }
   
   模p余a,p两两不互质
   void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x.ll &y){
       if (!b){
           d=a;
           x=1;
           y=0;
       }
       exgcd(b,a%b,d,y,x);
       y-=a/b*x;
   }
   ll CRT(){
       ll P=p[1],A=a[1],t;
       for (int i=2;i<=n;i++){
           ll d,x,y;
           exgcd(P,p[i],d,x,y);
           if ((a[i]-A)%d) return -1;
           x*=(a[i]-A)/d;
           t=p[i]/d;
           x=(x%t+t)%t;
           A=P*x+A;
           P=P/d*p[i];
           A%=P;
       }
       A=(A%P+P)%P;
       return A;
   }