UOJ #62 怎样跑得更快

UOJ #62 怎样跑得更快

题目传送门

题意

大力水手问禅师：“大师，我觉得我光有力气是不够的。比如我吃菠菜可以让力气更大，但是却没有提升跑步的速度。请问怎样才能跑得更快？我试过吃白菜，没有效果。”

禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你先看看这道(UOJ) (Round)的(C)题。”

令 (p=998244353)（(7×17×223+17×17×223+1)，一个质数。

给你整数 (n,c,d)。现在有整数(x_1,…,x_n)和(b_1,…,b_n)满足(0≤x_1,…,x_n,b_1,…,b_n<p)，且对于 (1≤i≤n) 满足：

[sum_{j=1}^n gcd(i,j)^c*lcm(i,j)^d*x_j equiv b_i(mod p) ]

其中 (v≡u(mod p)) 表示 (v) 和 (u) 除以 (p) 的余数相等。(gcd(i,j)) 表示 (i) 和 (j) 的最大公约数，(lcm(i,j)) 表示 (i) 和 (j) 的最小公倍数。

有 (q) 个询问，每次给出 (b_1,…,b_n)，请你解出 (x_1,…,x_n) 的值。

题解

大力莫比乌斯反演……
直接上公式（为了方便书写，我们将(mod p)省略）:

[sum_{j= 1 } ^ n gcd(i, j) ^ c * lcm(i, j) ^ d * x_j = b_i ]

[sum_{j = 1} ^ n gcd(i, j) ^ c * frac{i ^ d * j ^ d}{gcd(i, j) ^ d} * x_j = b_i ]

我们记(f(n) = n^{c - d}, h(n) = n ^ d)。

[sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))*h(j)*x_j = frac{b_i}{h(i)} ]

这个地方我们发现(gcd(i,j)^{c-d})比较的难以处理，但是假设我们知道了一个函数(f_r(n))，满足(f(n) = sum_{d | n}f_r(d))，那么在知道了(f(n))之后，求(f_r(n))是很好求的，只需要一次莫比乌斯反演就行了。
于是原式变成了这样:

[sum_{j = 1} ^ n sum_{d | gcd(i,j)} f_r(d) * h(j) * x_j equiv frac{b_i}{h(i)} (mod p) ]

为了简洁一点，我们记(B(i) = frac{b_i}{h(i)})。

[sum_{j = 1} ^ n sum_{d | gcd(i,j)} f_r(d) * h(j) * x_j = B(i) ]

移一下项

[sum_{d | i} f_r(d) sum_{d | j} h(j) * x_j = B(i) ]

考虑到(sum_{d | j} h(j) * x_j)这一项是求所有是(d)的倍数的(h(j)*x_j)的值，这个值只和(d)有关。所以我们可以记(A(d) = sum_{d | j} h(j) * x_j)

所以原式继续简化:

[sum_{d | i} f_r(d) * A(d) = B(i) ]

这样其实就可以进行第二次莫比乌斯反演了……为；为了看起来更清楚一些，我们再记(F(d) = f_r(d) * A(d))
那么这个莫比乌斯反演就很清楚了:

[sum_{d | i} F(d) = B(i) ]

反演一下可得:

[F(i) = sum_{d | i}mu(d) B(frac{i}{d}) ]

然后我们将(F(n))展开可得:(f_r(d) * A(d) = F(n)) 即(A(d) = frac{F(n)}{f_r(d)})
继续讲(A(n))展开可得:(sum_{n | j} h(j) * x_j = A(n))，再来一次莫比乌斯反演，可以得到:(h(j) * x_j = sum_{n | j} mu(frac{j}{n})* A(j))。这样就可以轻松求得(x_j)的值，无解多解什么的中间除法的时候判一下就行了。

Code

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Md=998244353;
const int N=3e5+500;
typedef long long ll;

inline int Add(const int &x,const int &y) {return (x+y)>=Md?(x+y-Md):(x+y);}
inline int Sub(const int &x,const int &y) {return (x-y)<0?(x-y+Md):(x-y);}
inline int Mul(const int &x,const int &y) {return (ll)x*y%Md;}
inline int Chg(int x) {int X=x;while(X<0) X+=Md;while(X>=Md) X-=Md;return X;}
int Powe(int x,int y) {
  int ans=1;
  while(y) {
    if(y&1) ans=Mul(ans,x);
    x=Mul(x,x);
    y>>=1;
  }
  return ans;
}
inline int Div(const int &x,const int &y) {return Mul(x,Powe(y,Md-2));}

void read(int &x) {
  x=0;int f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  x*=f;
}

void read(ll &x) {
  x=0;int f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  x*=f;
}

int n,q,c,d,cnt;
int b[N],F[N],mu[N],pri[N],ntp[N],f[N],A[N],g[N],Iv1[N],Iv2[N],H[N];

void Init() {
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<N;i++) {
    if(!ntp[i]) mu[i]=-1,pri[++cnt]=i;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++) {
      ntp[i*pri[j]]=1;
      if(i%pri[j]==0) {
	    mu[i*pri[j]]=0;
	    break;
      }
      else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
    }
  }
}

int main() {
  Init();
  read(n);read(c);read(d);read(q);
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    f[i]=Powe(i,c>=d?(c-d):(c-d+Md-1)%(Md-1));
    g[i]=Powe(i,d);
    Iv1[i]=Powe(g[i],Md-2);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    for(int j=i*2;j<=n;j+=i) {
      f[j]=Sub(f[j],f[i]);
    }
  }
  for(int i=1;i<=n;i++) Iv2[i]=Powe(f[i],Md-2);
  while(q--) {
    for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]),b[i]=Mul(b[i],Iv1[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) F[i]=H[i]=A[i]=0; 
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      for(int j=i;j<=n;j+=i) {
	    F[j]=Add(F[j],Mul(Chg(mu[j/i]),b[i]));
      }
    }
    bool fl=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      if(Iv2[i]) A[i]=Mul(F[i],Iv2[i]);
      else if(F[i]) {
	    fl=0;
	    puts("-1");
	    break;
      }
    }
    if(!fl) continue;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      for(int j=i;j<=n;j+=i) {
	    H[i]=Add(H[i],Mul(Chg(mu[j/i]),A[j]));
      }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      if(g[i]==0) {
	    if(H[i]==0) b[i]=1;
	    else {
	      fl=0;
	      puts("-1");
	      break;
	    }
      }
      else b[i]=Mul(H[i],Iv1[i]);
    }
    if(fl) {
      for(int i=1;i<=n;i++) {
	    printf("%d%c",b[i]," 
"[i==n]);
      }
    }
  }
  return 0;
}