OptimalSolution(9)--其他问题（1）

　　一、从5随机到7及其扩展

　　题目1：给定一个等概率随机产生1~5的随机函数rand1to5：

    public int rand1To5() {
        return (int)(Math.random() * 5) + 1;
    }

　　除此之外，不能使用任何额外的随机机制，请用rand1To5实现等概率随机产生1~7的随机函数random1To7。

　　解法：

　　第一步：rand1To5()等概率随机产生1,2,3,4,5

　　第二步：rand1To5()-1等概率随机产生0,1,2,3,4

　　第三步：(rand1To5()-1)*5等概率随机产生0,5,10,15,20

　　第四步：(rand1To5()-1)*5 + rand1To5()-1等概率随机产生0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24

　　第五步：如果第四步产生的结果大于20，则重复进行第四步，直到产生的结果在0~20之间，同时可以知道出现21~24的概率，会平均分配到0~20上。

　　第六步：第五步会等概率随机产生0~20，所以第五步的结果进行%7操作，就会等概率产生0~6

　　第七步：将第六步的结果再加1，就会等概率随机产生1~7

    public int rand1To6() {
        int num = 0;
        do {
            num = (rand1To5() - 1) * 5 + rand1To5() - 1;
        } while (num > 20);
        return num % 7 + 1;
    }

　　

　　题目2：给定一个以p概率产生0，以1-p概率产生1的随机函数random01p：

    public int rand01p() {
        double p = 0.83;
        return Math.random() < p ? 0 : 1;
    }

　　除此之外，不能使用任何额外的随机机制，请用rand01p实现等概率随机产生1~6的随机函数random1To6。

　　分析：

　　　　不断重复执行rand01p()函数，直到第一次之后出现的数与第一次出现的数不同为止。

　　　　rand01p()第一次产生的数为0的概率为p(1-p)，rand01p第一次产生的数为1的概率为(1-p)p，则说明可以使用rand01()方法等概率产生0和1

    public int rand01() {
        int num;
        do {
            num = rand01p();        
        } while (num == rand01p());
        return num;
    }

　　解法：

　　　　第一步：rand01()等概率随机产生0和1

　　　　第二步：rand01()*2等概率随机产生0和2

　　　　第三步：rand01()*2+rand01()等概率随机产生0,1,2,3，即生成rand0To3()方法

    public int rand0To3() {
        return rand01() * 2 + rand01();
    }

　　　　第四步：rand0To3()*4+rand0To3()等概率随机产生0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

　　　　第五步：如果第四步产生的结果大于11，则重复进行第四步，直到产生的结果在0~11之间，那么12~15的概率就会平均分配到0~11上

　　　　第六步：对第五步的结果进行%6操作，就会等概率随机产生0~5，然后再对这个结果加1，就会等概率随机产生1~6

    public int rand1To6ByRand0To3() {
        int num = 0;
        do {
            num = rand0To3() * 4 + rand0To3();
        } while (num > 11);
        return num % 6 + 1;
    }

　　题目3：给定一个等概率随机产生1~M的随机函数rand1ToM：

    public int rand1ToM(int m) {
        return (int)(Math.random() * m) + 1;
    }

　　除此之外，不能使用任何额外的随机机制，有两个输入参数，分别为m和n，请用rand1ToM(m)实现等概率随机产生1~n的随机函数rand1ToN。

　　分析：

　　　　总结题目1和题目2的解法

　　　　如果要产生1~7，那么考虑随机生成0~6，因此等概率产生0~24（插空），然后等概率产生0~20（筛），进行%7操作，结果加1

　　　　如果要产生1~6，那么考虑随机生成0~5，因此等概率产生0~15（插空），然后等概率产生0~11（筛），进行%6操作，结果加1

　　　　针对题目3，可以有，如果M≥N，直接进入筛过程；如果M＜N，先进入插空过程，直到产生比N大的随机范围后，再进入筛过程。

　　解法：

　　　　调用k次rand1ToM(m)，生成有k为的M进制数，并且产生的范围要大于或等于N。例如，题目1中由随机5到随机7，首先生成0~24范围内的数，也就是0~(5²-1)，在把范围扩到大于或等于N的级别之后，如果真实生成的数大于或等于N，就忽略，只留下小于或等于N的数，那么在0~N-1上就可以做到均匀分布。

　　　　以m=5，n=7即由随机5产生随机7为例：

　　　　第一步：将10进制的n-1转换成m进制数，即将7-1=6转换成5进制数，也就是11

    // 将10进制的value转换成m进制数
    public int[] getMSysNum(int value, int m) {
        int[] res = new int[32];
        int index = res.length - 1;
        while (value != 0) {
            res[index--] = value % m;
            value /= m;
        }
        return res;
    }

　　　　第二步，等概率产生一个0~6的随机数，用5进制表示，也就是0~11的随机数，例如随机数6用10表示

    // 等概率随机产生一个0~nMSys范围的数，只不过是用m进制表达的
    public int[] getRanMSysNumLessN(int[] nMSys, int m) {
        int[] res = new int[nMSys.length];
        int start = 0;
        while (nMSys[start] == 0) {
            start ++;
        }
        int index = start;
        boolean lastEqual = true;
        while (index != nMSys.length) {
            res[index] = rand1ToM(m) - 1;
            if (lastEqual) {
                if (res[index] > nMSys[index]) {
                    index = start;
                    lastEqual = true;
                    continue;
                } else {
                    lastEqual = res[index] == nMSys[index];
                }
            }
            index++;
        }
        return res;
    }

　　　　第三步：将第二步产生的0~6范围内的5进制数转换成十进制输出：将10转换成6输出

    // 把m进制数转成十进制数
    public int getNumFromMSysNum(int[] mSysNum, int m) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < mSysNum.length; i++) {
            res = res * m + mSysNum[i];
        }
        return res;
    }

　　总方法rand1ToN：

    public int rand1ToN(int n, int m) {
        int[] nMSys = getMSysNum(n - 1, m);
        int[] randNum = getRanMSysNumLessN(nMSys, m);
        return getNumFromMSysNum(randNum, m) + 1;
    }

　　

　　二、一行代码求两个数的最大公约数

　　题目：给定两个不等于0和整数M和N，求M和N的最大公约数

　　解法：根据欧几里得算法（又叫辗转相除法），如果q和r分别是m除以n的商及余数，即m=nq+r，那么m和n的最大公约数等于n和r的最大公约数。

    public int gcd(int m, int n) {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }

　　三、判断一个点是否在矩形内部

　　四、判断一个点是否在三角形内部

　　五、折纸问题

　　六、设计有setAll功能的哈希表

　　七、设计可以变更的缓存结构

　　八、设计RandomPool结构

　　九、调整[0,x)上数出现的概率

　　十、整数数组的最小不可组成和

　　十一、从N个数中等等概率带你M个数

　　十二、判断一个数是否为回文数

　　十三、在有序旋转数组中找到最小值

　　十四、在有序旋转数组中找到一个数

　　十五、一种消息接收并打印的结构设计

　　十六、在两个长度相等的排序数组中找到上中位数

　　十七、两个有序数组间相加和Top K问题

　　十八、蓄水池算法