线性代数——特征值

一、特征值和特征向量的定义
　　定义1：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $lambda$ 和非零向量 $x$，使得 $Ax =lambda x quad (x≠0)$ 则称 $lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$x$ 为 $A$ 的对应于特征值 $lambda$ 的特征向量。
　　特征子空间基本定义，如下：
　　由 $Ax =lambda x quad (x≠0)$
　　　　$Rightarrow (A-lambda E)x=0$
　　或$(lambda E-A)x=0$
　　　　$|lambda E-A|=0$
　　　　$(*lambda )$
　　而 $x≠0$，即齐次线性方程组 $(*_lambda )$ 有非零解
　　　　$Longleftrightarrow |A-lambda E|=0$
　　方程组 $(*_lambda )$ 的解空间称为对应于入的特征子空间。
二、特征多项式
　　特征多项式的定义，如下：
　　定义2：设
　　　　$A=egin{pmatrix}a_{11} & a_{11} & cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \vdots & vdots & ddots & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{pmatrix}$
　　则称
　　　　$|A-lambda E|=egin{pmatrix}a_{11}-lambda & a_{11} & cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22}-lambda & cdots & a_{2n} \vdots & vdots & ddots & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn-lambda}end{pmatrix}$
　　为矩阵A的特征多项式,记作$f(lambda)$
　　推论：n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 的 n 个特征值非 0，如下：
　　　　$f(lambda )=|A-lambda E|=(-lambda )^{n}+(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})(-lambda )^{n-1}+...+det(A)$
　　设 $f((lambda)=0$ 在复数范围内 n个根为 $lambda _1,lambda _2,...,lambda _n$ 即 A 的 n 个特征值则
　　　　$left{egin{matrix} lambda _1+lambda _2+...,lambda _n= a_{11}+a_{22}+...,a_{nn} \ lambda _1lambda _2...lambda _n=det(A)end{matrix} ight.$
　　推论 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 的 n 个特征值非零。
三、特征值的基本性质
　　需要我们牢记的特征值的基本性质如下所示：
　　性质：若 $lambda$是 A 的特征值，即 $Ax=lambda x quad (x e 0)$，则
　　(1)$klambda $ 是 $kA$ 的特征值 (k是常数)，且 $kAx=klambda x $
　　(2)$lambda ^{m}$ 是 $A^{m}$ 的特征值 (m是正整数)，且$ A^{m}x=lambda ^{m}x$
　　(3)若 A 可逆，则 $lambda ^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，且$A^{-1}x=lambda ^{-1}x$
　　　　$lambda ^{-1}|A|$是 $A^{*}$ 的特征值，且 $A^{*}x=lambda ^{-1}|A|x$
　　(4) $varphi (x)$ 为 $x$ 的多项式，则 $varphi (lambda )$ 是 $varphi (A)$ 的特征值，且$varphi (A)x=varphi (lambda )x$
　　(5)矩阵 $A$ 和 $A^{T}$ 的特征值相同，特征多项式相同。
四、经典例题
　　(1) 求解特征值，如下：
　　例3:
　　(1)设 $lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，求 $A^2+2A+3E$ 的特征值
　　(2)若 3 阶阵 $A$ 有特征值 1，-1，2，求 $|A^*+3A-2E|$ 。
　　解:
　　(1)$A^2+2A+3E$ 有特征值 $lambda ^2+2lambda+3$
　　(2)3 阶阵 $A$ 有特征值 1，-1，2，故 $|A|=-2$，$A$ 可逆。
　　$A^*+3A-2E$ 有特征值-1，-3，3
　　$|A^*+3A-2E|$
　　(2)思考题，求特征值：
　　思考题
　　设 4 阶方阵 $A$ 满足条件: $|3E+A|=0 ， AA^T=2E ， |A|<0$，求 $A$ 的一个特征值.
　　解因为 $|A|<0$，故 $A$ 可逆由 $|A+3E|= 0$ 知 $-3$ 是 $A$ 的一个特征值，又由 $AA^T=2E$ 得 $|AA^T|=|2E|=16$$，即
　　$|A|^2=16$，于是 $|A|=+4$ 或 $|A|=-4$ ，由于 $|A|<0$ ，因此 $|A|=-4$，故 $A^*$ 有一个特征值为 ${large frac{4}{3} } $。
　　(3) 矩阵特征值一般求解方法，如下：
　　例6: 求矩阵 $A=left(egin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \ -4 & 3 & 0 \ 1 & 0 & 2end{array} ight) $的特征值和特征向量。
　　解：1、由矩阵 A 的特征方程, 求出特征值。
　　　　$egin{aligned}|A-lambda E| &=left|egin{array}{ccc}-1-lambda & 1 & 0 \ -4 & 3-lambda & 0 \ 1 & 0 & 2-lambdaend{array} ight|=(2-lambda)left|egin{array}{cc}-1-lambda & 1 \ -4 & 3-lambdaend{array} ight| \ &=(2-lambda)(lambda-1)^{2}=0 end{aligned}$
　　特征值为 $lambda=2,1 $
　　2、把每个特征值 $ lambda$ 代入线性方程组 $ (A-lambda E) x=0$ ，求出基础解系。
　　当 $lambda=2$ 时, 解线性方程组 $(oldsymbol{A}-mathbf{2} oldsymbol{E}) oldsymbol{x}=mathbf{0} $
　　　　$(A-2 E)=left(egin{array}{ccc} -3 & 1 & 0 \ -4 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 end{array} ight) ightarrowleft(egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{array} ight)$
　　　　$left{egin{array}{l}x_{1}=0 \ x_{2}=0end{array} quad ight.$
　　得基础解系：
　　　　$ p_{1}=left(egin{array}{l}0 \ 0 \ 1end{array} ight) $
　　当 $lambda=1$ 时, 解线性方程组 $ (oldsymbol{A}-oldsymbol{E}) oldsymbol{x}=mathbf{0} $
　　　　$(A-E)=left(egin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \ -4 & 2 & 0 \ 1 & 0 & 1 end{array} ight) ightarrowleft(egin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{array} ight)$
　　　　$ left{egin{array}{l}x_{1}+x_{3}=0 \ x_{2}+2 x_{3}=0end{array} quad ight. $
　　得基础解系
　　　　$p_{2}=left(egin{array}{c}-1 \ -2 \ 1end{array} ight) $
五、概括总结求解思路
　　特征值得求解过程，如下：
　　(1)计 算 特 征 多 项 式 $ |A-lambda E| $;
　　(2)求 $|A-lambda E|=0$ 的 所有 根，即 $A $ 的所有特征值;
　　(3)对 每个特 征值 $lambda_{0}$ , 求 解 齐 次 线 性 方 程 组 $ left(A-lambda_{0} E ight) x=0 $ 的 一 个 基 础 解 系 $ xi_{1}, mathrm{~L}, xi_{t}$ ，则 $x=k_{1} xi_{1}+mathrm{L}+k_{t} xi_{t}$ 为 $A$ 对 应于 $lambda_{0}$ 的 全 部 特 征 向 量 $left(k_{1}, mathrm{~L}, k_{t} ight.$ 不 全 为 $0$ ) 。
六、回顾总结
　　解下面例题：
　　例7: 求矩阵 $ oldsymbol{A}=left(egin{array}{ccc}-mathbf{2} & mathbf{1} & mathbf{1} \ mathbf{0} & mathbf{2} & mathbf{0} \ -mathbf{4} & mathbf{1} & mathbf{3}end{array} ight) $ 的特征值和特征向量，并求可逆矩阵 $P$ , 使 $P^{-1} A P$ 为对角阵.
　　解：
　　　　$|oldsymbol{A}-lambda oldsymbol{E}|=left|egin{array}{ccc} -mathbf{2}-oldsymbol{lambda} & mathbf{1} & mathbf{1} \ mathbf{0} & mathbf{2}-oldsymbol{lambda} & mathbf{0} \ -mathbf{4} & mathbf{1} & mathbf{3}-oldsymbol{lambda} end{array} ight|=-(lambda-mathbf{2})^{2}(oldsymbol{lambda}+mathbf{1})$
　　特征值为 $lambda=-1,2 $
　　例题详解：
　　当 $lambda=-1 $ 时, 解线性方程组 $ (A+E) x=0 $
　　　　$(A+E)=left(egin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \ 0 & 3 & 0 \ -4 & 1 & 4 end{array} ight) ightarrowleft(egin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{array} ight)$
　　　　$left{egin{array}{c}x_{1}-x_{3}=0 \ x_{2}=0end{array} ight. $
　　得基础解系:
　　　　$p_{1}=left(egin{array}{l}1 \ 0 \ 1end{array} ight) $
　　当 $lambda=-1$ 时, 解线性方程组 $(A+E) x=0 $
　　　　$(A+E)=left(egin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \ 0 & 3 & 0 \ -4 & 1 & 4 end{array} ight) ightarrowleft(egin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{array} ight)$
　　　　$left{egin{array}{c}x_{1}-x_{3}=0 \ x_{2}=0end{array} quad ight. $
　　得基础解系:
　　　　$p_{1}=left(egin{array}{l}1 \ 0 \ 1end{array} ight) $
　　当 $lambda=2$ 时, 解线性方程组 $ (oldsymbol{A}-mathbf{2} oldsymbol{E}) oldsymbol{x}=mathbf{0} $
　　　　$(A-2 E)=left(egin{array}{ccc} -4 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -4 & 1 & 1 end{array} ight) ightarrowleft(egin{array}{ccc} -4 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{array} ight)$
　　　　$-4 x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 $
　　得基础解素:
　　　　$ p_{2}=left(egin{array}{c}0 \ 1 \ -1end{array} ight) quad p_{3}=left(egin{array}{l}1 \ 0 \ 4end{array} ight) $
　　设
　　　　$oldsymbol{P}=left(p_{1}, p_{2}, p_{3} ight)=left(egin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 4 end{array} ight)$
　　则
　　　　$P^{-1} A P=left(egin{array}{lll} -1 & & \ & 2 & \ & & 2 end{array} ight)$
　　问题：矩阵 $P$ 是否唯一？ 矩阵 $Lambda$ 是否唯一?
　　注： 矩阵 $P$ 的列向量应和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应.
　　归纳，得出以下定理：
　　定理2: 设 $ lambda_{1}, lambda_{2}, cdots, lambda_{m} $ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值， $p_{1}, p_{2}, cdots, p_{m} $ 依次是与之对应的特征向量。若 $lambda_{1}, lambda_{2}, cdots, lambda_{m} $ 各不相等, 则 $p_{1}, p_{2}, cdots, p_{m} $线性无关。
　　注:
　　对应不同特征值的特征向量线性无关。
https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html