[BJWC2010]严格次小生成树

板子题

先kruskal得到最小生成树，再枚举未加进生成树中的边i，该边i和生成树树形成了一个环，选择这个环上最大的不等于i的权值的边去掉就得到一个新的树，所有这样得到的树权值之和即为次小生成树。

求环上最大边可以用倍增或者树链剖分，由于最大边可能和才加上去的边相等，所以还要维护一个次大边

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define M 300005
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 10000000000000000;
int n,m,fa[N],f[N][20],dep[N];
bool vis[M];
ll maxx[N][20],naxx[N][20],ans,minn;
struct E {int u,v;ll w;} e[M];
struct Edge {int next,to;ll dis;}edge[M<<1];
int head[N],cnt=1;
void add_edge(int from,int to,ll dis)
{
	edge[++cnt].next=head[from];
	edge[cnt].to=to;
	edge[cnt].dis=dis;
	head[from]=cnt;
}
template <class T>
void read(T &x)
{
	char c;int sign=1;
	while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
bool cmp(E a,E b) {return a.w<b.w;}
int find(int x) {return x==fa[x] ? x : fa[x]=find(fa[x]);}
void kruskal()
{
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int cnt=0; minn=0;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int fu=find(e[i].u),fv=find(e[i].v);
		if(fu!=fv)
		{
			fa[fu]=fv;
			add_edge(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
			add_edge(e[i].v,e[i].u,e[i].w);
			vis[i]=1;
			minn+=e[i].w;
			if(++cnt==n-1) break;
		}
	}
}
void dfs(int rt,int fa)
{
	dep[rt]=dep[fa]+1;
	for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		maxx[v][0]=edge[i].dis;
		naxx[v][0]=0;
		f[v][0]=rt;
		for(int i=1;i<20;++i)
		{
			f[v][i]=f[f[v][i-1]][i-1];
			maxx[v][i]=max(maxx[v][i-1],maxx[f[v][i-1]][i-1]);
			naxx[v][i]=max(naxx[v][i-1],naxx[f[v][i-1]][i-1]);
			if(maxx[v][i-1]!=maxx[v][i]) naxx[v][i]=max(naxx[v][i],maxx[v][i-1]);
			if(maxx[f[v][i-1]][i-1]!=maxx[v][i]) naxx[v][i]=max(naxx[v][i],maxx[f[v][i-1]][i-1]);
		}
		dfs(v,rt);
	}
}
ll query(int x,int y,ll MAX)
{
	ll ret=-INF;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;--i)
	{
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
		{
			if(maxx[x][i]!=MAX) ret=max(ret,maxx[x][i]);
			else ret=max(ret,naxx[x][i]);
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y) return ret;
	for(int i=19;i>=0;--i)
	{
		if(f[x][i]!=f[y][i])
		{
			if(maxx[x][i]!=MAX) ret=max(ret,maxx[x][i]);
			else ret=max(ret,naxx[x][i]);
			if(maxx[y][i]!=MAX) ret=max(ret,maxx[y][i]);
			else ret=max(ret,naxx[y][i]);
			x=f[x][i];y=f[y][i];
		}
	}
	if(maxx[x][0]!=MAX) ret=max(ret,maxx[x][0]); else ret=max(ret,naxx[x][0]);
	if(maxx[y][0]!=MAX) ret=max(ret,maxx[y][0]); else ret=max(ret,naxx[y][0]);
	return ret;
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i) read(e[i].u),read(e[i].v),read(e[i].w);
	kruskal();
	ans=INF;
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		if(vis[i]) continue;
		ll q=query(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
		if(minn-q+e[i].w!=minn) ans=min(ans,minn-q+e[i].w);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}