数据结构与算法（九）：查找

查找是在大量的信息中寻找一个特定的信息元素，在计算机应用中，查找是常用的基本运算，例如编译程序中符号表的查找。

定义：根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。

分类：

1. 静态查找和动态查找

   • 静态查找：不对表的数据元素和结构进行任何改变。
   • 动态查找：在查找过程同时插入查找表中不存在的数据元素，或者从查找表中删除已经存在的某个数据元素。

2. 无序查找和有序查找。

   • 无序查找：被查找数列有序无序均可
   • 有序查找：被查找数列必须为有序数列。

一、线性查找

遍历数组并且依次对比值，相等时返回下标

/**
 * 在给定数组中线性查找指定元素
 * @param arr
 * @param target
 * @return
 */
public static int search(int[] arr,int target) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] == target) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

二、二分查找

1.思路分析

• 要查找数target，首先要在给定的有序数组中找到中间位置的数，定义为arr[mid]
• 比较target与arr[mid]大小：
  1. target < arr[mid]：说明target元素的下标小于mid，向右查找
  2. target > arr[mid]：说明target元素的下标大于mid，向左查找
  3. target = arr[mid]：即找到了
• 递归重复以上步骤直到找到或者找不到元素为止

2.代码实现

查找不含有重复数字的情况：

/**
 * 二分查找不重复目标
 * @param arr 查找的数字
 * @param left 左指针
 * @param right 右指针
 * @param target 查找目标
 * @return
 */
public static int search(int[] arr, int left, int right, int target) {
    //由于每次遍历右指针总是右移，左指针总是右移
    //所以当如果查找的是一个不存在的数时，即右指针小于左指针
    if (right < left) {
        return -1;
    }

    //获取中位数
    int mid = (right + left) / 2;

    //如果目标比中位数小，向左递归
    if (arr[mid] > target) {
        return search(arr, left, mid - 1, target);
    } else if (arr[mid] < target) {
        //如果目标表中位数打，向右递归
        return search(arr, mid + 1, right, target);
    } else {
        //中位数即为目标
        return mid;
    }

}

查找含有重复数字的情况：

/**
 * 二分查找重复目标
 * @param arr 查找的数字
 * @param left 左指针
 * @param right 右指针
 * @param target 查找目标
 * @return
 */
public static List<Integer> search(int[] arr, int left, int right, int target) {
    ArrayList<Integer> targets = new ArrayList<>();

    //由于每次遍历右指针总是右移，左指针总是右移
    //所以当如果查找的是一个不存在的数时，即右指针小于左指针
    if (right < left) {
        return targets;
    }

    //获取中位数
    int mid = (right + left) / 2;

    //如果目标比中位数小，向左递归
    if (arr[mid] > target) {
        return search(arr, left, mid - 1, target);
    } else if (arr[mid] < target) {
        //如果目标表中位数打，向右递归
        return search(arr, mid + 1, right, target);
    } else {
        //如果找到了
        //向左查找相同的数
        int tempIndex = mid - 1;
        while (true){
            //到第一个数就不再继续找
            if(tempIndex < 0 || arr[tempIndex] != target){
                break;
            }
            targets.add(tempIndex);
            tempIndex--;
        }
        //放入中间值
        targets.add(mid);
        //向右查找相同的数
        tempIndex = mid + 1;
        while (true) {
            //到最后一个数就不再继续找
            if(tempIndex > arr.length - 1 || arr[tempIndex] != target){
                break;
            }
            targets.add(tempIndex);
            tempIndex++;
        }

        return targets;
    }

}

三、插值查找

插值查找与二分查找基本一致，但是不一样的是不再像二分那样总是将数组均匀分为两份，而是通过公式将分割的中间点自适应定在目标元素附近。

即将原先的mid计算方式换成这个：

//将原先的1/2换为(key-a[low])/(a[high]-a[low])
mid=low+(high-low)*(key-a[low])/(a[high]-a[low])

由于mid的计算方式改为由查找数动态计算，所以为了防止取arr[mid]时下标越界，我们需要新的边界条件：

• 目标target不能小于有序数组最小数，即arr[0]
• 目标target不能大于于有序数组最大数，即arr[arr.length]

所以代码实现如下：

/**
 * 插值查找
 * @param arr 查找的数字
 * @param left 左指针
 * @param right 右指针
 * @param target 查找目标
 * @return
 */
public static List<Integer> search(int[] arr, int left, int right, int target) {
    ArrayList<Integer> targets = new ArrayList<>();

    //查询大小目标必须在数组范围内，防止arr[mid]时下标越界
    if (right < left || target > arr[arr.length - 1] || target < arr[0]) {
        return targets;
    }

    //获取中位数
    int mid = left + (right - left) * (target - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
    int midVal = arr[mid];

    //如果目标比中位数小，向左递归
    if (midVal > target) {
        return search(arr, left, mid - 1, target);
    } else if (midVal < target) {
        //如果目标表中位数打，向右递归
        return search(arr, mid + 1, right, target);
    } else {
        //如果找到了
        //向左查找相同的数
        int tempIndex = mid - 1;
        while (true){
            //到第一个数就不再继续找
            if(tempIndex < 0 || arr[tempIndex] != target){
                break;
            }
            targets.add(tempIndex);
        }

        //放入中间值
        targets.add(mid);

        //向右查找相同的数
        tempIndex = mid + 1;
        while (true) {
            //到最后一个数就不再继续找
            if(tempIndex > arr.length - 1 || arr[tempIndex] != target){
                break;
            }
            targets.add(tempIndex);
        }

        return targets;
    }

}

四、斐波那契查找

斐波那契查找跟差值查找一样从中位数mid上下文章，但是又有不同之处，要想理解斐波那契查找的思路，需要先了解一下斐波那契数列：

举个例子， {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 就是一个斐波那契数列，他有两个特点：

• F[k] = F[k-1] + F[k-2]
• 相邻数之比无限接近黄金分割值0.618

1.思路分析

• 由于F[k] = F[k-1] + F[k-2]，我们能推出（F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1，也就是说：

  若数组的长度F[k]-1，则每一数组可以被分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，两段的平分点mid即有mid=low+F[k-1]-1

  

• 但数组长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可

  举个例子：延长{1,8, 10, 89, 1000, 1234}，得到{1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234}，

2.代码实现

/**
 * 斐波那契数组长度
 */
public final static int MAXSIZE = 20;

/**
 * 获得一个斐波那契数列，用于提供数组分割点位置
 * @return
 */
public static int[] getFibonacci() {
    int[] f = new int[MAXSIZE];
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAXSIZE; i++) {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    }
    return f;
}

/**
 * 斐波那契查找
 * @param arr
 * @param target
 * @return
 */
public static int search(int[] arr, int target) {

    //数组第一位和最后一位下标
    int left = 0;
    int right = arr.length - 1;

    //斐波那契数列下标
    int k = 0;
    //生成的斐波那契数列
    int[] f = getFibonacci();

    //中间值
    int mid = 0;

    //获取离arr.length-1最近的分割点下标
    while (right > f[k] - 1) {
        k++;
    }
    //将数组长度延长到f[k]
    int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
    //将延长的那部分用原数组的最后一位填充
    for (int i = right + 1; i < f[k]; i++) {
        temp[i] = arr[right];
    }

    //查找目标数字
    while (left <= right) {
        //获取分割数组的中间点下标
        mid = left + f[k - 1] - 1;
        //如果元素在分割点的左边
        if (target < temp[mid]) {
            //向分割点左边查找
            right = mid - 1;
            //中间点右移到前一个分割点
            k--;
        } else if (target > temp[mid]) {
            //向分割点右边查找
            left = mid + 1;
            k-=2;
        }else {
            //找到要查找的数字
            //判断要返回的下标
            if (mid < right) {
                return mid;
            }else {
                return right;
            }
        }
    }
    return -1;
}