二分图之 多重匹配 和 最大权匹配 等总结

一.多重匹配：

HDU3605 Escape （裸题）

POJ2289 Jamie's Contact Groups（二分+多重匹配）

POJ3189 Steady Cow Assignment（二分+多重匹配）

POJ2112 Optimal Milking（二分+多重匹配）

二.最大权匹配及KM算法：

模板：

bool DFS(int x) //找增广路
{
    visx[x] = true;
    for(int y = 1; y<=ny; y++)
    {
        if(visy[y]) continue;
        int tmp = lx[x] + ly[y] - g[x][y];
        if(tmp==0)  //遇到可匹配的，尝试找增广路
        {
            visy[y] = true;
            if(linker[y]==-1 || DFS(linker[y]))
            {
                linker[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else    //否则，更新最小期望差值
            slack[y] = min(slack[y], tmp);
    }
    return false;
}

int KM()
{
    memset(linker, -1, sizeof(linker));
    memset(ly, 0, sizeof(ly));  //初始化右边标杆
    for(int i = 1; i<=nx; i++)  //初始化左边标杆
    {
        lx[i] = -INF;
        for(int j = 1; j<=ny; j++)
            lx[i] = max(lx[i], g[i][j]);
    }

    for(int x = 1; x<=nx; x++)     //为左边的每个点找到匹配对象
    {
        for(int i = 1; i<=ny; i++)  //初始化最小期望差值
            slack[i] = INF;
        while(true)     //多次调整标杆（其实就是多次降低期望值，降低最大权值和），直到找到增广路
        {
            memset(visx, 0, sizeof(visx));
            memset(visy, 0, sizeof(visy));

            if(DFS(x)) break;   //找增广路，如果找不到，则需要继续降低期望值。
            int d = INF;
            for(int i = 1; i<=ny; i++)
                if(!visy[i])
                    d = min(d, slack[i]);

            for(int i = 1; i<=nx; i++)  //左边访问过的降低期望值，从而可以与未尝试过的点尝试匹配。
                if(visx[i])
                    lx[i] -= d;
            for(int i = 1; i<=ny; i++)  //右边访问过的提高期望值，以平衡左边减去的那部分。
            {
                if(visy[i]) ly[i] += d;
                else slack[i] -= d;
            }
        }
    }

    int res = 0;
    for(int i = 1; i<=ny; i++)
        if(linker[i]!=-1)
            res += g[linker[i]][i];
    return res;
}

对KM算法的理解：
假设左边的点为男生， 右边的点为女生。为每个男生都找到女朋友，且好感度之和要最大。
　　1.在开始下手之前，每个男生心目中都有一个最喜欢的女生，即好感度最高的。于是，我们就把男生的初始期望值设置为好感度最高的，以表明他们都想得到他们最喜欢的女生。人嘛，一开始都是想要最好的。在这里，初始最大权值和即为所有男生的期望值之和。
　　2.现在开始找女朋友了：从左边挑选一个没有找到女朋友的男生开始，逐个女生地挑：
　　　　1)如果不是自己期望值最高的那个女生，那就先不向她示意，而是把她作为保留选择（人都这样），同时，这个男生需要更新一下：如果被最期望值最高的女生拒绝，则最少需要降低多少期望值，才可以继续找女朋友，且是剩下的期望值最高的（人嘛，受挫了就要降低姿态。但是又仍然保留了那份高傲，即使降低姿态也不能降太低）。
　　　　2)如果是自己期望值最高的女生，还等什么，赶紧下手啊！如果女生没有男朋友，或者女生的男朋友可以找到另外一个女生做女朋友（不是自己的永远是最好的）
则成功啦！！然而，如果女生的男朋友找不到另外一个女生做女朋友，那人家肯定不能拱手让爱吧？？所以就失败了，那怎么办？女朋友还是要找的，日子还是要过的。所以男生啊，事实哪有想象中的那么美好。所以只能降低一下期值，然后继续找，不言弃，直至成功！！（写代码的时候是访问过的男生都降低最小的期望差值，访问过的女生都增加最少的期望差值，这样左边减少的转移到右边去了，但又因为最大权值和设得过高了，所以左边部分减少的肯定多于右边部分增加的。）

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