UVA10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) —— 置换、poyla定理

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-10294

题解：

白书P146~147。

为什么旋转i个间距，就有gcd(i,n)个循环，且每个循环有n/gcd(i,n)个元素？

证明：

 　　(gcd:最大公约数，lcm:最小公倍数)

      将珠子从0到n-1标号，对于旋转i位的置换，在以0号为起点，长度为t的一个循环节中，元素标号为：0,i%n,(i*2)%n,…,(i*(t-1))%n

      易知：(i*t)%n==0（循环大小为t，跳t次就回到初始点0），即 n*k == i*t，其中n,k,i,t为正整数，因此等式左右的最小值为lcm(n,i)，即i*t==lcm(n,i)，为什么i*t取最小值，即t取最小值？因为是从0第一次跳到0就完成整个循环的遍历，这个“第一次”就决定了是最早满足条件的那个t，即最小t。

      ∴ t == lcm(n,i)/i == ( n*i/gcd(n,i) )/i == n/gcd(n,i)

      ∴ 循环节t==n/gcd(n,i)，循环节的个数为：n/t == gcd(n,i)

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 55;

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

LL Pow[MAXN];
int main()
{
    int n, t;
    while(scanf("%d%d", &n,&t)!=EOF)
    {
        Pow[0] = 1;
        for(int i = 1; i<=n; i++) Pow[i] = 1LL*Pow[i-1]*t;
        LL a = 0, b = 0;
        for(int i = 0; i<n; i++)
            a += Pow[gcd(i,n)];
        if(n%2)
            b = 1LL*n*Pow[n/2+1];
        else
            b = 1LL*n/2*(Pow[n/2]+Pow[n/2+1]);

        printf("%lld %lld
", a/n, (a+b)/2/n);
    }
}