【Cf #178 A】Shaass and Lights（组合数）

考虑两个灯之间的暗灯，能从左边或右边点亮两种顺序，而最左端或最右端只有一种点亮顺序。

先不考虑点灯顺序，总共有n - m个灯要点亮，对于连续的一段暗灯，他们在总的点灯顺序中的是等价的，于是问题就可以抽象成有重复元素的组合数：

$ C = frac{ (n - m)! }{ prod_{i = 1}^{k} \, x_{i} ! }  $ 。

在考虑一段连续的暗灯内部的点灯顺序，只要让答案乘上 $ 2 ^ {len - 1} $ 即可。

$ igodot $ 技巧&套路：

• 组合数应用的模型，组合数的运用

#include <cstdio>
#include <algorithm>

typedef long long LL;
const int N = 1005, MOD = 1e9 + 7;

int n, m, a[N], d[N], pw2[N], fac[N];

int Pow(int x, int b, int re = 1) {
    for (; b; b >>= 1, x = (LL) x * x % MOD) if (b & 1) re = (LL) re * x % MOD;
    return re;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    pw2[0] = fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        pw2[i] = pw2[i - 1] * 2 % MOD;
        fac[i] = (LL) fac[i - 1] * i % MOD;
    }
    std::sort(a + 1, a + 1 + m);
    
    int ans = fac[n - m];
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        int d = a[i + 1] - a[i] - 1;
        if (d == 0) continue;
        ans = (LL) ans * Pow(fac[d], MOD - 2) % MOD;
        ans = (LL) ans * pw2[d - 1] % MOD;
    }
    if (a[1] > 1) ans = (LL) ans * Pow(fac[a[1] - 1], MOD - 2) % MOD;
    if (a[m] < n) ans = (LL) ans * Pow(fac[n - a[m]], MOD - 2) % MOD;
    printf("%d
", ans);
    
    return 0;
}