欧几里得算法功能是求两个正整数a和b的最大公因数。函数名一般设为gcd，利用的性质是gcd(a,b) = gcd(a%b， b)。
简单证明：不妨设a = kb+r， d为a，b公因数， d|a， d|b。r = a-kb，所以d|r。而r = a%b，d|a%b， d|b， 所以d = gcd(a%b，b) = gcd(a, b)
这样不断递归下去，a%b=0时，下次调用变成gcd（b，0），最大公因数是b，递归停止。
不过要保证a>b，很麻烦，只需要交换一下顺序，gcd(a,b) = gcd(b，a%b)，这样即使a<b，也可以在下次递归调用交换ab顺序：
int gcd(int a, int b){ return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); }
然而实际上a，b往往会出现负数，gcd的结果也可能出现负数。（涉及到取模取余的很烦的问题）
扩展欧几里得除了能求a，b的最大公因数之外，能求解方程ax+by=c的整数解。
方程变形为m*gcd（a，b）*x+n*gcd（a，b）=c， gcd（a，b）（m*x+n*y）=c。显然当c为gcd（a，b）的倍数时方程有整数解，否则无整数解。
考虑问题ax+by=gcd（a，b）
叫扩展欧几里得当然是因为是欧几里得的扩展。利用性质gcd(a,b) = gcd(a%b， b)：
ax1+by1=gcd（a，b） ------①
b*x2+a%b*y2=gcd（b，a%b）------②
等式右侧两个数相等，所以有：ax1+by1 = b*x2+a%b*y2 = b*x2+(a-[a/b]*b)*y2 = a*y2+b*(x2-[a/b]*y2)
由恒等关系知，x1=y2， y1=x2-[a/b]*y2。就是说，①式的解x1，y1，可以由②式的解x2，y2得到，这样就形成了递归。
终止条件是b=0，此时x=1，y=0，最大公因数是a。
总结一下就是：扩展欧几里得在求a，b的最大公因数时，“顺便”算出了ax+by=gcd（a，b）的一组解。
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y){ if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } int gcd = exgcd(b, a%b, x, y); int tmp = x; x = y; y = tmp - a/b*y; return gcd; }
调用的时候先声明x，y，调用exgcd（a， b， x， y）即可把一组解写到x，y里，并且函数返回a和b的最大公因数。
现在得到了一组特解x1，y1，然而其他解呢？设另一组解x2，y2. ax1+by1=ax2+by2, a(x1-x2)=b(y2-y1), 设gcd(a,b)等于g，A等于a/g， B等于b/g， （AB互素） 等式两边同时除以g, 即A(x1-x2)=B(y2-y1)， 所以x1-x2=kB, y2-y1=kA
所以通解可以表示为：x=x1-kB, y=y1+kA.
想得到最小的正数x呢？根据x通解可知，只涉及正数时最小x是x1%B。然而x1和B都可能为负数。B为负数时，B取绝对值。如果x1为负，只需x1%B+B即可得到最小x。
扩展欧几里得个很有用的用途： 求乘法逆元
ax≡1(modm) 时 x叫a的逆元。逆元作用大大地有，比如取模的时候：我们知道(a*b)%m = a%m*b%m, 但(a/b)%m不能拆开取模。例如计算组合公式C的时候，阶乘除以阶乘取模，必须一边算一边取模才能不爆范围，这时就要用到逆元：
inv表示逆元，(a/b)%m = a%m*inv(b)%m。
现在求这个逆元x，ax+my=1，这时祭出扩展欧几里得就能搞定 （ps：m经常是1e9+7，怕是为了保证a和m互素）