title: CDQ学习笔记
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CDQ 分治学习笔记
学习的目的
在任何一个OIer的职业生涯中，都会碰到一些繁琐的数据结构题，而现在的省选有基本是数据结构大战，可见数据结构的重要性，但是和我说的CDQ有什么关系QAQ？？？
数据结构写起来，基本上就呵呵了，动不动两三百行的代码，调试时基本万念俱灰。。。（可能是我比较菜QAQ）
这个时候CDQ的用处就很明显的，写起来简单，写起来简单，写起来简单！！！
算法要求与使用
大前提:
CDQ一定是处理离线算法，如果强制在线，还是要么暴力，要么刚数据结构。
使用：
1.区间维护什么的就乱搞了，其实也用不到CDQ，但我们要清楚，区间维护其实就是维护一个二维偏序，具体做法我们稍后再说。
2.CDQ的真正用处在于维护一个三维偏序，一般的做法是套用一个树状数组维护第三维。三维偏序的理解，举个例子给你很多三维坐标如(a,b,c),希望你求坐标满足:
a<x&&b<y&&c<z的点的个数有多少个；
具体实现
很多前辈都说CDQ的写法与归并排序超级像，其实也真的是超级像。
先说一下二维的实现：
如果给你一个区间，有很多点权值，支持单点修改和区间查询。其实树状数组乱秒，考虑CDQ怎么做。
对于每个操作我们必须要维护一个时间序，否则会乱套。那么考虑这么一个事实，每次修改操作一定是对后面发生的询问有影响，而我们已经将操作们按照时间排了序，分治的模型可能就出来了吧QAQ。我们递归枚举左区间和右区间，只是在合并前要多一步，考虑左区间中元素对右区间的影响：
记操作的区间的左端点是x，右端点是y;那么满足
q[i].x<q[j].x
都会对查询有影响，注意我们查询的是两个前缀和：sum[x-1],sum[y];那么我们很清楚查询到x-1时，对这次区间询问的答案应该是减去sum[x-1]的，而到y时，便是加上sum[y]。
好了可以总结一下，CDQ的基本思路就是保证左区间与右区间的修改和查询独立协调后，处理左区间对右区间的影响。
如果左区间的所有元素都不满足于修改条件（见上），那么说明右区间的查询部分是不受限制的，可以直接更新答案。
好了差不多就这样了，如果还是不清楚的话，可以在看几篇博客，知识点不可能看一篇文章就能学会的。
三维偏序
三维偏序其实是对二位偏序的拓展。
我们可以保证默认序时间序是有序的，我们也能保证第二维在维护的时候可以有序，但是第三维我们只能放弃，否则会冲突。这时候我们可以借助一个简单的数据结构，比如说树状数组来维护。
先放一道入门题
比模板题多一点点操作在于只用容斥把查询稍微转化一下就行了
因为有些查询是对答案有利，有些不是，所以定义的时候可以应入一个w变量=1||-1来记录状态。
贴一波同组写的题解
传送门
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
int s,w,sz[2000100];
struct node{
int type,x,y,num,w;
node(int _type=0,int _x=0,int _y=0,int _num=0,int _w=0){
type=_type,x=_x,y=_y,num=_num,w=_w;
}
friend bool operator <= (node a,node b){
return a.x<=b.x;
}
}q[500500],tmp[2000100];int cnt,tot,ans[100010];
void update(int x,int y){
for(int i=x;i<=w;i+=lowbit(i))
sz[i]+=y;
}
int query(int x){
int rtn=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
rtn+=sz[i];
return rtn;
}
void CDQ(int l,int r)
{
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
CDQ(l,mid),CDQ(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,o=0;
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(q[i]<=q[j])
{
if(q[i].type==1)
update(q[i].y,q[i].w);
tmp[o++]=q[i++];
}
else
{
if(q[j].type==2)
ans[q[j].num]+=query(q[j].y)*q[j].w;
tmp[o++]=q[j++];
}
}
while(i<=mid)
{
if(q[i].type==1)update(q[i].y,q[i].w);
tmp[o++]=q[i++];
}
while(j<=r)
{
if(q[j].type==2)ans[q[j].num]+=query(q[j].y)*q[j].w;
tmp[o++]=q[j++];
}
for(int i=l;i<=mid;i++)
if(q[i].type==1)update(q[i].y,-q[i].w);
for(int i=0;i<o;i++)
q[i+l]=tmp[i];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&s,&w);
while(true)
{
int x,y,x1,y1,w;
int opt;scanf("%d",&opt);
if(opt==3)break;
if(opt==1){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
q[++cnt]=node(1,x,y,0,w);
}
if(opt==2){
scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&x1,&y1);
q[++cnt]=node(2,x-1,y-1,++tot,1);
q[++cnt]=node(2,x1,y1,tot,1);
q[++cnt]=node(2,x-1,y1,tot,-1);
q[++cnt]=node(2,x1,y-1,tot,-1);
ans[tot]+=s*(x1-x+1)*(y1-y+1);
}
}
CDQ(1,cnt);
for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d
",ans[i]);
return 0;
}
/*
0 2
1 1 1 1
2 1 1 1 1
3
*/