有个Oier小学妹问了我一个Σi^k，i<=1e8 ,k<=1e6的问题，我认为这个用伯努利数列可能可以解决他的问题，所以整理了以下文章，给学弟学习学习~~~本人水平有限，也只能帮到这里了吧QAQ~~~
下面进入正文：
计算∑{i=1,n}i^k 的值需要引入伯努利数列的概念
定义将(B-1)^k展开，然后将B^k写成数列的第k项，即B(k)
当k>=2时，令(B-1)^k展开后的形式（将B^k写成B(k)）与B(k)相等
（便于记忆相当于，令(B-1)^k=B^k，然后将B^k写成B(k)求出各个项的值）
即可得出伯努利数列（即伯努利数）
例如
计算B(1)
令(B-1)^2=B^2
B^2-2B+1=B^2
将B^k写成数列的第k项，即B(k)
有B(2)-2B(1)+1=B(2)
则B(1)=0.5
同理，若计算B(2)
令(B-1)^3=B^3
有
B^3-3B^2+3B-1=B^3
将B^k写成数列的第k项
有
B(3)-3B(2)+3B(1)-1=B(3)
B(2)=[3B(1)-1]/3
即
B(2)=1/6
由此可算出数列的任意一项
定义B(0)=1
由上面所述：
(x+B)^(k+1)
=∑{i=0, k+1}C{i,k+1}B^i*x^(k+1-i)
=x^(k+1)+C{1,k+1}Bx^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*B^i*x^(k+1-i)
=x^(k+1)+0.5C{1,k+1}x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*B^i*x^(k+1-i)
又
(x+B-1)^(k+1)
=∑{i=0, k+1}C{i,k+1}(B-1)^i*x^(k+1-i)
=x^(k+1)+C{1,k+1}(B-1)x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*(B-1)^i*x^(k+1-i)
=x^(k+1)-0.5C{1,k+1}x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*(B-1)^i*x^(k+1-i)
因为B(k)是伯努利数列
有
(B-1)^i=B^i
即
(x+B-1)^(k+1)
=x^(k+1)-0.5C{1,k+1}x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*B^i*x^(k+1-i)
所以
(x+B)^(k+1)-(x+B-1)^(k+1)=(k+1)x^k
令x=1，2，3，…，i，…，n
有
(1+B)^(k+1)-B^(k+1)=(k+1)
(2+B)^(k+1)-(1+B)^(k+1)=(k+1)*2^k
(3+B)^(k+1)-(2+B)^(k+1)=(k+1)*3^k
……
(i+B)^(k+1)-(i-1+B)^(k+1)=(k+1)*i^k
……
(n+B)^(k+1)-(n-1+B)^(k+1)=(k+1)*n^k
由上式求和，得：
(n+B)^(k+1)-B^(k+1)=(k+1)∑{i=1,n}i^k
即
∑{i=1,n}i^k=[(n+B)^(k+1)-B^(k+1)]/(k+1)
注意：
这里的(n+B)^(k+1)并不代表(n+B)的k+1次幂
而是指的展开后将B^k写成伯努利数列的第k项
就像前面说的一样。想要严密的算法，就是欧拉
的算法，涉及到无穷级数，比较麻烦但非常严密。
本文所用的符号：
数列求和a(1)+a(2)+a(3)+…+a(n)表示为
∑{i=1,n}a(n)
从n个数中选出m个的组合数为
C{m,n}
以下是用Word整理的文本，我也不知道为啥有时候公式贴上来是错误的，所以怕看不清什么的，截个图存一下，也方便自己查询学习~
下面的图片是数学家欧拉考虑到无穷级数的比较严密的算法：