Codeforces Round #742 (Div. 2) 题解

旅行传送门

A. Domino Disaster

题意：有一个被大小为 \(1*2\) 的多米诺骨牌覆盖了的 \(2\) 行 \(n\) 列的网格。 骨牌可以垂直或水平放置，告诉你其中一排网格，问另一排网格是何样？

题目分析：模拟即可。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); i++)
#define down(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); i--)
using namespace std;

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    string s, t;
    cin >> s;
    rep(i, 0, n - 1)
    {
        switch (s[i])
        {
        case 'U':
            t += 'D';
            break;
        case 'D':
            t += 'U';
            break;
        case 'L':
            t += 'L';
            break;
        case 'R':
            t += 'R';
            break;
        default:
            break;
        }
    }
    cout << t << endl;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}

B. MEXor Mixup

题意：给你两个数 \(a\) ， \(b\) ，其中 \(a\) 是数组中最小的未出现的非负整数， \(b\) 是整个数组的异或和，问满足条件的数组的最小长度是多少。

题目分析：首先可以明确的是所求 \(ans \geq a\) ，不妨设 \(c\) 为 \(0\) ~ \(a-1\) 的异或和，接下来分三种情况讨论即可：

• \(c = b\) ，此时 \(ans = a\)

• \(c \not= b\) 且 \(c \bigoplus b \not= a\) ，此时 \(ans = a+1\)

• \(c \not= b\) 且 \(c \bigoplus b = a\) ，此时 \(ans = a+2\)

这里解释一下，由于 \(b\) 是整个数组的异或和， 现在我们要让 \(c\) 异或上某个值 \(d\) 得到 \(b\) ，如果 \(d\) 不是 \(a\) 的话，我们直接把 \(d\) 添加进数组就好，否则的话就要用另外两个值异或起来得到 \(a\) 再去和 \(c\) 异或得到 \(b\) ，因为 \(a\) 不能出现在数组中，这种情况下就是 \(ans = a+2\) 。

有个异或和的小性质： \(i\) 从 \(0\) 开始算起， 有 \(i \bigoplus i+1 = 1\) 。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); i++)
#define down(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); i--)
const int maxn = 3e5 + 5;

char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, obuf[1 << 23], *O = obuf; 
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int T = read();
    std ::vector<int> c(maxn);
    rep(i, 1, 300000) c[i] = c[i - 1] ^ i;
    while (T--)
    {
        int a = read(), b = read();
        if (c[a - 1] == b)
            printf("%d\n", a);
        else if (c[a - 1] ^ b ^ a)
            printf("%d\n", a + 1);
        else
            printf("%d\n", a + 2);
    }
    return 0;
}

// int check(int a)
// {
//     switch (a % 4)
//     {
//     case 0:
//         return 0;
//     case 1:
//         return a - 1;
//     case 2:
//         return 1;
//     case 3:
//         return (a - 1) ^ 1;
//     }
// }

// int main(int argc, char const *argv[])
// {
//     int T = read();
//     while (T--)
//     {
//         int a = read(), b = read();
//         int c = check(a);
//         if (c == b)
//             printf("%d\n", a);
//         else if (c ^ b ^ a)
//             printf("%d\n", a + 1);
//         else
//             printf("%d\n", a + 2);
//     }
//     return 0;
// }

C. Carrying Conundrum

题意：定义新的加法运算：计算时所有的进位都要左移一位。

给你一个数 \(n\) ，问有多少对 \((a,b)\) 在新定义下满足 \(a + b = n\) （ \((a,b)\) 和 \((b,a)\) 算作不同方案）？

题目分析：平时的加法运算进位规则是个位进十位、十位进百位、百位进千位……每一位的进位都对它的后一位有贡献，密不可分。但在新定义下，贡献关系变为奇数位只对奇数位有贡献，偶数位只对偶数位有贡献，因此我们扫描整个 \(n\) ，将奇偶数位的数分别抽出来，称为 \(odd\) 、 \(even\) ，一个数 \(x\) 可以由 \((0,x)\) 、 \((1,x-1)\) 、 \((2,x-2)\) …… \((x-1,1)\) 、 \((x,0)\) 共 \(x+1\) 种方案组成，所以答案即为 \((odd+1)*(even+1)\) ，但我们还要减去 \(2\) ，因为 \((a,b)\) 为正整数对。因此，答案是 \((odd+1)*(even+1)-2\) 。

举个栗子：\(2021\) ， 奇数位与偶数位组成的数字分别为 \(22\) 和 \(01\) ， \(22\) 的组成方式有 \(23\) 种， \(1\) 的话有 \(2\) 种，但 \((0,2021)\) 与 \((2021,0)\) 不符合题意，所以答案为 \(23*2-2=44\) 种。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); i++)
#define down(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); i--)
using namespace std;

int main(int argc, char const *argv[])
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        string s, odd, even;
        cin >> s;
        int len = s.length() - 1;
        rep(i, 0, len) if (i & 1) even += s[i];
        else odd += s[i];
        if (even.empty())
        {
            printf("%lld\n", stoi(odd) - 1);
            continue;
        }
        int a = stoi(odd), b = stoi(even);
        printf("%lld\n", 1ll * (a + 1) * (b + 1) - 2);
    }
    return 0;
}

D. Expression Evaluation Error

题意：给你一个十进制的数 \(s\) ，要将其拆成 \(n\) 个十进制数 ,使得这 \(n\) 个十进制数在十一进制的表示下总和最大，求任一拆分方案。

题目分析：首先考虑什么时候会有损失，将 \(10\) 拆成 \(1\) 和 \(9\) ，其和即从 \(10_{(11)}\) （十进制下为 \(11\) ）变为 \(1_{(11)}+9_{(11)}\) （十进制下为 \(10\) ），损失了 \(1\) 。将 \(100\) 拆成 \(1\) 和 \(99\) ，其和即从 \(100_{(11)}\) （十进制下为 \(121\) ）变为 \(1_{(11)}+99_{(11)}\) （十进制下为 \(109\) ），损失了 \(12\) ，但如果拆成 \(10\) 和 \(90\) ，其和变为 \(10_{(11)}+90_{(11)}\) （十进制下为 \(110\) ），损失了 \(11\) ，较前者而言损失小了 \(1\) 。

观察上述结果，我们不难发现，每次产生损失都发生在将高位拆成低位的情况下，并且拆分后的位数越低，损失越大，说人话就是，将 \(100\) 拆成 \(1\) 和 \(99\) ，就是将一个三位数拆分成了两位数和一位数，而如果拆成 \(10\) 和 \(90\) ，就是将一个三位数拆分成了两个两位数。

所以我们要按位贪心，让拆分后的数最高位尽可能的大，即将 \(s\) 拆分为 \(m*10^n\) 之和，此时损失与 \(n\) 的大小成反比，但 \(m\) 是不会产生影响的， \(100\) 拆成 \(10\) 和 \(90\) 与 \(20\) 和 \(80\) 等价。

剩下的就看代码吧。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, obuf[1 << 23], *O = obuf;
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int t = read();
    while (t--)
    {
        int s = read(), n = read();
        int d = (int)log10(s);
        int p = pow(10, d);
        for (int i = n; i > 1; --i)
        {
            while (s - p < i - 1)
                p /= 10;
            printf("%d ", p);
            s -= p;
        }
        printf("%d\n", s);
    }
    return 0;
}

E. Non-Decreasing Dilemma

题意：已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

• 将 \(a_x\) 的值修改为 \(y\)

• 求出某区间连续非递减子序列的个数

题目分析：这题的难点在于线段树的区间合并操作，解释下代码中各变量的意义，对线段树中的每个节点，维护以下信息：

• \(sum\) ：非递减子序列的个数
• \(lv\) ：左端点的值
• \(rv\) ：右端点的值
• \(mxl\) ：最左端开始最长的连续非递减子序列长度
• \(mxr\) ：最右端结束最长的连续非递减子序列长度
• \(len\) ：区间长度
• \(flag\) ：整段区间是否为连续非递减子序列

具体合并过程看代码吧，理解起来并不难。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); i++)
#define down(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); i--)
using ll = long long;
const int maxn = 2e5 + 5;

char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, obuf[1 << 23], *O = obuf;
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
inline ll read()
{
    ll x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

std::vector<ll> a(maxn);
struct node
{
    ll sum, lv, rv, mxl, mxr, len, flag;
} tree[maxn << 2];

node merge(node x, node y)
{
    node res;
    res.sum = x.sum + y.sum;
    res.lv = x.lv, res.rv = y.rv;
    res.len = x.len + y.len;
    res.flag = 0;
    if (x.rv <= y.lv)
        res.sum += x.mxr * y.mxl;
    if (x.flag && x.rv <= y.lv)
        res.mxl = x.len + y.mxl;
    else
        res.mxl = x.mxl;
    if (y.flag && x.rv <= y.lv)
        res.mxr = x.mxr + y.len;
    else
        res.mxr = y.mxr;
    if (x.flag && y.flag && x.rv <= y.lv)
        res.flag = 1;
    return res;
}

#define lson (k << 1)
#define rson (k << 1 | 1)
void build(ll k, ll l, ll r)
{
    if (l == r)
    {
        tree[k].lv = tree[k].rv = a[l];
        tree[k].sum = tree[k].mxl = tree[k].mxr = tree[k].len = tree[k].flag = 1;
        return;
    }
    ll mid = (l + r) >> 1;
    build(lson, l, mid);
    build(rson, mid + 1, r);
    tree[k] = merge(tree[lson], tree[rson]);
}

void update(ll k, ll l, ll r, ll x, ll y)
{
    if (l == r && l == x)
    {
        tree[k].lv = tree[k].rv = y;
        return;
    }
    ll mid = (l + r) >> 1;
    x <= mid ? update(lson, l, mid, x, y) : update(rson, mid + 1, r, x, y);
    tree[k] = merge(tree[lson], tree[rson]);
}

node query(ll k, ll l, ll r, ll ql, ll qr)
{
    if (l >= ql && r <= qr)
        return tree[k];
    ll mid = (l + r) >> 1;
    if (qr <= mid)
        return query(lson, l, mid, ql, qr);
    else if (ql > mid)
        return query(rson, mid + 1, r, ql, qr);
    else
        return merge(query(lson, l, mid, ql, qr), query(rson, mid + 1, r, ql, qr));
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n = read(), q = read();
    rep(i, 1, n) a[i] = read();
    build(1, 1, n);
    while (q--)
    {
        int opt = read(), l = read(), r = read();
        if (opt == 1)
            update(1, 1, n, l, r);
        else
            printf("%lld\n", query(1, 1, n, l, r).sum);
    }
    return 0;
}

诉状罪书：昨天推gal把CF忘得一干二净，意识到的时候罪恶感已经爬上了脊背（照样睡到日上三竿），但是9-nine天天天推得真的停不下来（兄妹相声太好玩了），最后补一句：妹妹是天！