欧拉函数

欧拉函数详解

对一个正整数N，欧拉函数是小于N且与N互质的数的个数.。

例如φ(24)=8，因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。

φ(n) = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*......(1-1/pn)   其中(p1.....pn)为N的素因子

 

欧拉函数的基本性质：

 

① N是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）

② 除了N=2,φ(N)都是偶数.

③ 小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。

④ 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。

⑤ 当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N)

⑥ 若N是质数p的k次幂，φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。

⑦ 当N是质数时，φ(N) = N-1

8当b是质数，a%b==0，phi(a*b)=phi(a)*b

算法实现：

1.直接实现

int phi(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
        {
            rea=rea-rea/i;
            do{
                n/=i;//把素因子全部排除掉
            }while(n%i==0);
        }
    }
    return rea;
}

参照公式

2.素数表实现

bool b[50000];
int p[50000];
void prime()
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    b[0]=b[1]=1;
    int k=0;
    for(int i=2;i<=50000;i++)
    {
        if(b[i]==0)
        {
            p[k]=i;
            k++;
            for(int j=i+i;j<=50000;j+=i)
            {
                b[j]=1;
            }
        }
    }
}

int phi(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)
    {
        if(n%p[i]==0)
        {
            rea=rea-rea/i;
            do{
                n/=p[i];
            }while(n%p[i]==0);
        }
        if(n>1) rea=rea-rea/n;//减去自身的

    }return rea;
}

 3.递推实现

void phi()
{
    for(int i=1;i<=50000;i++) p[i]=i;
    for(int i=2;i<=50000;i+=2) p[i]/=2;//根据定理φ(2*N)=φ(N)
    for(int i=3;i<=50000;i+=2)
    {
        if(p[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=50000;j+=i)
            {
                p[j]=p[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}