【DP】【芝麻开门】

【题目来源】http://acm.buaa.edu.cn/problem/403/

【个人体会】觉得自己弱爆了。。。当时做的时候实在不会，问了各路大神，得到的解法也不尽相同，有的至今仍感觉懵懵懂懂。当时看完题目后唯一的想法就是任意的前I个房间都必须有大于I的房间钥匙（除非是N），之后再无进展。。。也曾经想过让DP（I）表示到达不了I这个房间的方案数，当时分为两种情况考虑，一是钥匙编号全部小于I，二是有某些房间钥匙的编号大于I，但是这些房间又是到达不了的。情况二让我感觉很麻烦，于是就退缩不再继续想下去了。现在回头看来，情况二实则可以再进一步，不仅仅是不能到达I，更精确是必然也不能到达I之前的某个房间。

【题目解析】DP(I)表示的是最远可以到达房间I的方案数，DP(I) = I^I - 最远不能到I的方案数，假设最远能到达房间J， 1<=J<I。那么J+1~I的房间可以随便放钥匙，方案数为I^(I-J)。状态转移方程为DP(I) = I^I - SUM{DP(J) * I ^ (I - J)}，只有一个边界条件就是F[1]=1。

　　　　　　PS：要预先处理出I^J取模的数值，不然会超时。

【代码如下】

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long int64;

const int mod = 20121215, Maxn = 101;
int N;
int64 List[Maxn][Maxn], F[Maxn];

int64 Dp(int i)
{
    if (F[i]) return F[i];
    if (i == 1) return 1;
    int64 sum = List[i][i];
    for (int j = 1; j < i; j ++)
    {
        sum -= ((Dp(j) % mod) * List[i][i - j]) % mod;
        if (sum < 0) sum += mod;
    }
    F[i] = sum;
    return sum;
}

void Prework()
{
    for (int i = 1; i < Maxn; i ++)
    {
        List[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < Maxn; j ++)
            List[i][j] = ((List[i][j - 1] % mod) * i) % mod;
    }
}

int main()
{
    Prework();
    while (cin >> N) cout << Dp(N) << endl;
    return 0;
}