每日一题

题目信息

• 时间： 2019-07-06

• 题目链接：Leetcode

• tag：动态规划

• 难易程度：中等

• 题目描述：

  假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

示例1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

注意

1. 0 <= 数组长度 <= 10^5

解题思路

本题难点

共有 n 天，第 a 天买，第 b 天卖，则需保证 a<b ；可推出交易方案数共有：(n−1)+(n−2)+⋯+2+1=n(n−1)/2种，暴力法的时间复杂度为 O(n^2)。

具体思路

动态规划

• 状态定义：设动态规划列表 dp ，dp[i] 代表以 prices[i] 为结尾的子数组的最大利润（以下简称为 前 i 日的最大利润 ）。

• 转移方程：由于题目限定 “买卖该股票一次” ，因此前 i 日最大利润 dp[i] 等于前 i−1 日最大利润 dp[i−1] 和第 i 日卖出的最大利润中的最大值。

  dp[i] = mac(dp[i -1],prices[i] - min(prices[0:i]))

提示:由于 dp[i] 只与 dp[i−1] , prices[i] , cost 相关，因此可使用一个变量（记为利润 profit ）代替 dp 列表。

代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int cost = Integer.MAX_VALUE, profit = 0;
        for(int price : prices) {
            cost = Math.min(cost, price);
            profit = Math.max(profit, price - cost);
        }
        return profit;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) ： 其中 N为 prices列表长度，动态规划需遍历 prices。
• 空间复杂度 O(1) ： 变量 cost和 profit 使用常数大小的额外空间。