蓝桥杯-矩阵翻硬币

问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

解题思路：因为硬币最后都正面朝上，所以只要统计那些硬币翻了奇数次就行了。

那么怎么求得那些硬币翻了奇数次呢？

假如某个硬币的位置是 a行 b列。

那么是不是存在任意的组合 i*x=a ，j*y=b。就可以翻硬币。

易知，翻硬币的次数  times = （a的约数的个数）*（b的约数的个数）。

易知，奇数乘奇数才能得到奇数。

而且约数个数为奇数的数只能是平方数！

因此最后结果为（n的开方数）*（m的开方数）。

 

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ps：代码通过率90%

 

代码如下：

 

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

string Multstr(string str1,string str2){   //大数相乘

    string strResult = "";
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int num[500] = {0};
    for(int i=0;i<len1;i++){
        for(int j=0;j<len2;j++){
            num[len1-1-i+len2-1-j]+=(str1[i]-'0')*(str2[j]-'0');
        }
    }
    for(int i=0;i<len1+len2;i++){
        num[i+1]+=num[i]/10;
        num[i]=num[i]%10;
    }
    int a=0;
    for(int i=len1+len2-1;i>=0;i--){
        if(num[i]!=0){
            a=i;break;
        }
    }
    for(int i=a;i>=0;i--){
        strResult += num[i]+'0';
    }
    return strResult;
}
string Big_sqrt(string a){   //大数开方
    int alen =a.length();
    string asqrt="";
    if(alen%2==0){
        for(int i=0;i<alen/2;i++){
            asqrt+="0";
        }
    }else{
        for(int i=0;i<alen/2+1;i++){
            asqrt+="0";
        }
    }
    int now=0;
    string sum1,sum2;
    sum1=Multstr(asqrt,asqrt);
    while( alen%2==0 ? now!=alen/2 : now!=alen/2+1){
        string tmp1=asqrt;
        for(int i=0;i<9;i++){
            tmp1[now]=tmp1[now]+1;
            sum2=Multstr(tmp1,tmp1);
            if(sum1==a){
                return asqrt;
            }
            if(sum1<=a&&sum2>a&&sum2.length()==a.length()){
                break;
            }
            if(sum1<=a&&sum2.length()>a.length()){
                break;
            }
            asqrt=tmp1;
            sum1=sum2;
        }
        now++;
    }
    return asqrt;
}
int main(){
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    string a1,b1;
    a1=Big_sqrt(a);
    b1=Big_sqrt(b);
    cout<<Multstr(a1,b1)<<endl;
    return 0;
}