Jensen 不等式

若f(x)为区间I上的下凸（上凸）函数，则对于任意x_i∈I和满足∑λ_i=1的λ_i>0（i=1，2，...，n），成立：

[f(sum ^{n} _{i=1} lambda _{i}x_{i})leq sum ^{n} _{i=1} lambda _{i} f(x_{i}) qquad (f(sum ^{n}_{i=1}lambda _{i}x_{i})geq sum ^{n}_{i=1}lambda _{i}f(x_{i}))]

特别地，取λ_i=1/n  （i=1，2，...，n），就有

[f(frac{1}{n}sum ^{n}_{i=1}x_{i})leq frac{1}{n}sum ^{n}_{i=1} qquad (f(frac{1}{n}sum ^{n}_{n=1})geq frac{1}{n}sum ^{n}_{i=1}f(x_{i}))]

 

为了方便说明，以下函数均以下凸函数为例

证明：

在i=1，2时 Jensen不等式 显然成立：

 

[f(lambda _{1}x_{1}+lambda _{2}x_{2})leq lambda _{1}f(x_{1})+lambda _{2}f(x_{2})]

[f(sum ^{n} _{i=1} lambda _{i}x_{i})leq sum ^{n} _{i=1} lambda _{i} f(x_{i})]

利用数学归纳法证明 i≥3 的情况

 

[f(sum ^{n+1}_{i=1}lambda _{i}x_{i})=f(lambda _{n+1}x_{n+1}+sum ^{n}_{i=1}lambda _{i}x_{i})]

由题意[sum ^{n+1}_{i=1}lambda _{i}=1]，

设[eta _{i}=frac{lambda {i}}{1-lambda _{n+1}}]

得：

[f(sum ^{n+1}_{i=1}lambda _{i}x_{i})=f[lambda _{n+1}x_{n+1}+(1-lambda _{n+1})sum ^{n}_{i=1}eta _{i}x_{i}]]

由i=2时 Jensen不等式 成立，可得

[f(sum ^{n+1}_{i=1}lambda _{i}x_{i})leq lambda _{n+1}f(x_{n+1})+(1-lambda _{n+1})f(sum ^{n}_{i=1}eta _{i}x_{i})]

[f(sum ^{n+1}_{i=1}lambda _{i}x_{i})leq lambda _{n+1}f(x_{n+1})+(1-lambda _{n+1})sum ^{n}_{i=1}eta _{i}f(x_{i})=sum ^{n+1}_{i=1}lambda _{i}f(x_{i})]

于是证得Jensen不等式在i≥3时也成立

[f(sum ^{n} _{i=1} lambda _{i}x_{i})leq sum ^{n} _{i=1} lambda _{i} f(x_{i})]