1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

 

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

最水的斜率优化DP（我会告诉你我写了一天吗。。。还是要提高姿势水平啊

朴素DP方程：

[F[i]=F[j]+minleft {(i-j-1+sum^{i}_{j+1} C_{k}-l)^{2} ight }]

s[i]表示玩具长度前缀和（因此S[i]单调递增）

[sum ^{i}_{j+1} C_{k}=s[i]-s[j]]

[F[i]=F[j]+minleft {(i-j-1+s[i]-s[j]-l)^{2} ight }]

移位

[F[i]=F[j]+minleft {((s[i]+i)-(s[j]+j)-(l+1))^{2} ight }]

为了表述方便

设S[i]=s[i]+i

　S[j]=s[j]+j

　L=l+1

[F[i]=F[j]+minleft {(S[i]-S[j]-L)^{2} ight }]

直接DP,时间复杂度为O(n²)，50000*50000毫无疑问TLE

接下来考虑斜率，即min{(S[i]-S[j]-L)²}，i为已知量，j为什么的时候min最小

设A优于B

[F[A]+(S[i]-S[A]-L)^{2}<F[B]+(S[i]-S[B]-L)^{2}]

展开，消去相同项

[F[A]+S[A]^{2}-2S[A]S[i]+2S[A]L<F[B]+S[B]^{2}-2S[B]S[i]+2S[B]L]

移位

[S[i]>frac{S[A]^{2}-S[B]^{2}+2L(S[A]-S[B])+F[A]-F[B]}{2(S[A]-S[B])}]

设：

[x_{A}=2S[A]]

[x_{B}=2S[B]] 

[y_{A}=S[A]^{2}+2LS[A]+F[A]]

[y_{B}=S[B]^{2}+2LS[B]+F[B]]

则：

[S[i]>frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}]

附单调性证明：

S[i],F[i]都是单调递增

因此A>B时，不等式成立

如果A<B，则应是：

[S[i]<frac{S[A]^{2}-S[B]^{2}+2L(S[A]-S[B])+F[A]-F[B]}{2(S[A]-S[B])}]

显然只有A>B时，解更优

是不是很像斜率公式（也许还可以求个导

接下来只需要维护一个队列

每枚举到一个i，维护一下队列

例如，我们枚举到D时，假设B是最优点：

cmp(C,B)>S[i]，因此C更不优

那么F[D]=F[B]+(D-B-1+S[D]-S[B]-L)²

枚举到E时，由于S[i]增大了（S[i]单调递增），这时假设cmp(C,B)<S[i]了，而cmp(D,C)>S[i]，因此，这时C优于B，C为E的最优点

这时候就有个问题了，为什么原先的最优点B，在枚举到新的点E时，更优解一定在B后，而不是B前呢？也可能cmp(A,B)<S[i]啊？

见上附证明

#define LL long long
#define sqr(x) ((x)*(x))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

const int MAXN=50000+10;

int N,L;
int Q[MAXN];
int l,r;
LL S[MAXN],F[MAXN];

double cmp(int x,int y)
{
    return (double)(sqr(S[x])-sqr(S[y])+2*L*(S[x]-S[y])+F[x]-F[y])/(2*(S[x]-S[y]));
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&N,&L);
    L++;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        S[i]=S[i-1]+x;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        S[i]+=i;
    l=1;r=0;r++;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        while(l<r&&cmp(Q[l+1],Q[l])<S[i]) l++;
        F[i]=F[Q[l]]+sqr(S[i]-S[Q[l]]-L);
        while(l<r&&cmp(i,Q[r])<cmp(Q[r],Q[r-1])) r--;
        Q[++r]=i;
    }
    cout<<F[N]<<endl;
}