洛谷 P3803 多项式乘法

题目背景

这是一道FFT模板题

题目描述

给定一个n次多项式F(x)，和一个m次多项式G(x)。

请求出F(x)和G(x)的卷积。

输入输出格式

输入格式：

第一行2个正整数n,m。

接下来一行n+1个数字，从低到高表示F(x)的系数。

接下来一行m+1个数字，从低到高表示G(x))的系数。

输出格式：

一行n+m+1个数字，从低到高表示F(x)∗G(x)的系数。

输入输出样例

输入样例#1： 

1 2
1 2
1 2 1

输出样例#1： 

1 4 5 2

说明

保证输入中的系数大于等于 0 且小于等于9。

对于100%的数据： n, m leq {10}^6n,m≤106, 共计20个数据点，2s。

数据有一定梯度。

空间限制：256MB

NTT和FFT有惊人的类似度hhh，总的说就是把单位根换成了原根。

最好是取一个形如p=k*2^x+1这样的质数p,这里x最好大一点。

然后在FFT里1的K次单位根是(cos(2*π/K),sin(2*π/K))  （一个复数）,而NTT里则是 g^((p-1)/K)。

dft的逆函数的话也类似,就是把g换成g^-1。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 3000005
#define ha 998244353
using namespace std;
const int ba=3;
const int ni=ha/ba+1;

inline int add(int x,int y){
    x+=y;
    if(x>=ha) x-=ha;
    return x;
}

inline int dec(int x,int y){
    x-=y;
    if(x<0) x+=ha;
    return x;
}

inline int ksm(int x,int y){
    int an=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%ha) if(y&1) an=(ll)an*x%ha;
    return an;
}

int n,m,a[maxn],b[maxn];
int r[maxn],l,inv;

inline void fft(int *c,int f){
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]);
    
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int omega=(f==1?ksm(ba,(ha-1)/(i<<1)):ksm(ni,(ha-1)/(i<<1)));
        for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p){
            int now=1;
            for(int k=0;k<i;k++,now=(ll)now*omega%ha){
                int x=c[j+k],y=(ll)now*c[j+k+i]%ha;
                c[j+k]=add(x,y);
                c[j+k+i]=dec(x,y);
            }
        }
    }
    
    if(f==-1) for(int i=0;i<n;i++) c[i]=(ll)c[i]*inv%ha;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%d",b+i);
    
    m+=n;
    for(n=1,l=0;n<=m;n<<=1) l++;
    for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    inv=ksm(n,ha-2);
    
    fft(a,1),fft(b,1);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=(ll)a[i]*b[i]%ha;
    fft(a,-1);
    for(int i=0;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]);
    puts("");
    return 0;
}