每日计划博<数论学习>

从基础的基础学起//***表示有点不理解

2018.11.24

1.质数分布定理：

约等于n / ln n

2.-扩展欧几里得

一次不定方程求解问题

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

同余方程求解问题

 同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

 求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

同余方程组求解问题（****）

x≡x1 (mod p1)----1
x≡x2 (mod p2)----2

合并1，2

p1u + x1 = p2v + x2

x≡x0 (mod p1*p2)

求模的逆元问题（*****）

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
il int read(){int x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch^48;_()x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);return f*x;}
il int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int r=ex_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return r;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;a=read();b=read();
    int c=ex_gcd(a,b,x,y);
    //ax+by=d;c=gcd(a,b);
    //有解条件：c|d 
    //特解为x=x*(d/c),y=y*(d/c)
    //通解x=x-(b/c)*t,y=y+(a/c)*t,t为任意整数 
    return 0;
}