题目链接:Vijos - P1943
题目分析
这是 AHOI 普及组的题目,然而我并不会做= =弱到不行= =
首先,从 (x, 0) 到 (0, y) 的最短路,一定是只能向左走和向上走,那么用组合数算一下方案数是 C(x + y, x) ,记为 Solve(x, y), 其实就是将 y 次向上走分配到 x + 1 个横坐标上。
那么不考虑不能有交点的方案就是 Solve(x1, y1) * Solve(x2, y2) 。
然后题目要求两条路径不能有交点,那么我们就考虑容斥,用总的方案减去有交点的方案。
我们将两条相交的路径在最左端的交点处进行交换,即那个交点向左的部分,原先属于路径 1 的部分现在属于路径2,原先属于路径 2 的部分现在属于路径 1。
那么,我们就得到了一条从 (x1, 0) 到 (0, y2) 的路径和一条 (x2, 0) 到 (0, y1) 的路径,可以发现,这样的一对路径和原题中相交的一对路径是一一对应的。
那么我们的答案就是 Solve(x1, y1) * Solve(x2, y2) - Solve(x1, y2) * Solve(x2, y1) 。
代码
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int MaxN = 200000 + 5, Mod = 1000000007, MN = 200000; int x, y, xx, yy; LL Ans; LL Fac[MaxN]; void Prepare() { Fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= MN; ++i) Fac[i] = Fac[i - 1] * (LL)i % Mod; } LL Pow(LL a, int b) { LL ret = 1, f = a; while (b) { if (b & 1) { ret *= f; ret %= Mod; } b >>= 1; f *= f; f %= Mod; } return ret; } inline LL Inv(LL x) { return Pow(x, Mod - 2); } LL C(int x, int y) { return Fac[x] * Inv(Fac[y]) % Mod * Inv(Fac[x - y]) % Mod; } LL Solve(int x, int y) { return C(x + y, x); } int main() { Prepare(); scanf("%d%d%d%d", &x, &xx, &y, &yy); Ans = (Solve(x, y) * Solve(xx, yy) % Mod - Solve(x, yy) * Solve(xx, y) % Mod) % Mod; Ans = (Ans + Mod) % Mod; cout << Ans << endl; return 0; }