[洛谷P4180]严格次小生成树

题目描述：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4180

解析：首先考虑如何求不严格次小生成树，即所求生成树的边权总和大于等于最小生成树的边权总和。发现不严格次小生成树一定由最小生成树上的边替换掉某条边而得，于是想到枚举非树边。发现一条非树边(u,v)只能替换掉最小生成树上路径(u,v)中的最大值。于是问题边转换成了如何求树上路径的最大值，用树剖即可。(笔者水平太菜，不会写倍增)。

其次考虑怎么求严格次小生成树。考虑怎么维护一段区间的次大值，发现如果这段区间左区间的最大值大于右区间的最大值，那么这段区间的次大值就是左区间的次大值和右区间的最大值取max，反之亦然。如果这段区间左区间的最大值等于右区间的最大值，那么这段区间的次大值就是左区间的次大值和右区间的次大值取max。于是想到用pair来存最大值与次大值。

细节：1.这道题需要边转点，在最后树剖完当top[u]==top[v]时，区间查询不是查[finc[u],finc[v]]，而是[finc[u]+1,finc[v]](finc为dfs序)。因为如果查的是[finc[u],finc[v]]的话，会将u点上面的路径一起计算，而这时不行的。2.记得最大值开1e14.

附上代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> pii;
const int MAXN=1000005,MAXM=3000005;
int n,m;
struct Edge{
    int u,v;
    LL val;
    void init(){
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&val);
    }
}edge[MAXM];
int fa1[MAXN];
int vis[MAXM];
int head[MAXN];
struct Edg{
    int to,last,val;
}edg[2*MAXN];
int cnt=0;
int fa[MAXN],size[MAXN],son[MAXN],dep[MAXN];
int inc[MAXN],finc[MAXN],top[MAXN];
int timer=0;
LL v[MAXN];
int root=1;
int lson[2*MAXN],rson[2*MAXN];
LL Max[2*MAXN],sec_Max[2*MAXN];
int ndnum=0;
LL ans1=0,ans=1e14;

bool cmp(Edge a,Edge b){
    return a.val<b.val;
}

int find(int x){
    if(x==fa1[x]) return x;
    else return fa1[x]=find(fa1[x]);
}

void Init(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) edge[i].init();
    for(int i=1;i<=n;i++) fa1[i]=i;
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
    for(int i=1;;i++){
        int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
        int fa_u=find(u),fa_v=find(v);
        if(fa_u==fa_v) continue;
        vis[i]=1;
        ans1+=edge[i].val;
        cnt++;
        fa1[fa_u]=fa_v;
        if(cnt==n-1) break;
    }
}

void addedge(int u,int v,int val){
    edg[++cnt].to=v;
    edg[cnt].last=head[u];
    edg[cnt].val=val;
    head[u]=cnt;
}

void dfs1(int x,int f){
    size[x]=1;fa[x]=f;dep[x]=dep[f]+1;
    for(int i=head[x];i;i=edg[i].last){
        int y=edg[i].to;
        if(y==f) continue;
        v[y]=edg[i].val;
        dfs1(y,x);
        size[x]+=size[y];
        if(size[y]>size[son[x]]||son[x]==0) son[x]=y;
    }
}

void dfs2(int x,int tp){
    top[x]=tp;inc[++timer]=x;finc[x]=timer;
    if(son[x]) dfs2(son[x],tp);
    for(int i=head[x];i;i=edg[i].last){
        int y=edg[i].to;
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

LL max(LL x,LL y){
    return x>y?x:y;
}

void update(int t){
    if(Max[lson[t]]>Max[rson[t]]){
        Max[t]=Max[lson[t]];
        sec_Max[t]=max(Max[rson[t]],sec_Max[lson[t]]);
    }
    else if(Max[lson[t]]<Max[rson[t]]){
        Max[t]=Max[rson[t]];
        sec_Max[t]=max(Max[lson[t]],sec_Max[rson[t]]);
    }
    else{
        Max[t]=Max[lson[t]];
        sec_Max[t]=max(sec_Max[lson[t]],sec_Max[rson[t]]);
    }
}

void buildtree(int &t,int l,int r){
    t=++ndnum;
    if(l==r){
        Max[t]=v[inc[l]];
        sec_Max[t]=0;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    buildtree(lson[t],l,mid);buildtree(rson[t],mid+1,r);
    update(t);
}

void Prework(){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(vis[i]){
            int u=edge[i].u,v=edge[i].v,val=edge[i].val;
            addedge(u,v,val);
            addedge(v,u,val);
        }
    }
    dfs1(root,0);
    dfs2(root,root);
    buildtree(root,1,n);
}

LL min(LL a,LL b){
    return a<b?a:b;
}

pii get_max(pii a,pii b){
    LL res1,res2;
    if(a.first>b.first){
        res1=a.first;
        res2=max(a.second,b.first);
    }
    else if(a.first<b.first){
        res1=b.first;
        res2=max(b.second,a.first);
    }
    else{
        res1=a.first;
        res2=max(a.second,b.second);
    }
    return make_pair(res1,res2);
}

pii query(int t,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R) return make_pair(Max[t],sec_Max[t]);
    int mid=(l+r)>>1;
    pii res;
    if(L<=mid) 
    res=get_max(res,query(lson[t],l,mid,L,R));
    if(R>mid)
    res=get_max(res,query(rson[t],mid+1,r,L,R));
    return res;
}

pii Query(int u,int v){
    pii res;
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        res=get_max(res,query(root,1,n,finc[top[u]],finc[u]));
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    if(dep[u]!=dep[v])
    res=get_max(res,query(root,1,n,finc[u]+1,finc[v]));
    return res;
}

void opt(int x){
    int u=edge[x].u,v=edge[x].v;
    pii res=Query(u,v);
    if(edge[x].val>res.first){
        LL anss=ans1;
        ans=min(ans,anss-res.first+edge[x].val);
    }
    else if(res.second){
        LL anss=ans1;
        ans=min(ans,anss-res.second+edge[x].val);
    }
}

void work(){
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(!vis[i]) opt(i);
    printf("%lld",ans);
}

int main(){
    Init();
    Prework();
    work();
    return 0;
}