【大意】
对于 \(T\) 组数据，每组数据给定多项式 \(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\) ，求 \(\displaystyle {1\over e}\sum_{m=0}^\infty {P(m)\over m!}\) 。
其中，\(e\) 表示自然对数，定义式为 \(\displaystyle e=\sum_{i=0}^\infty {1\over i!}\)
【分析】
手玩一下样例 \(P(x)=1+2x\) 会发现：
\(\begin{aligned} &{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {P(m)\over m!} \\\\=&{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {1+2m\over m!} \\\\=&{1\over e}(\sum_{m=0}^\infty {1\over m!}+2\sum_{m=1}^\infty {1\over (m-1)!}) \\\\=&{1\over e}(e+2e) \\\\=&3 \end{aligned}\)
再手玩一下 \(P(x)=1+2x+x^2\) 就会发现更多：
\(\begin{aligned} &{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {P(m)\over m!} \\\\=&{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {1+2m+m^2\over m!} \\\\=&{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {1+3m+m(m-1)\over m!} \\\\=&{1\over e}(\sum_{m=0}^\infty {1\over m!}+3\sum_{m=1}^\infty {1\over (m-1)!}+\sum_{m=2}^\infty {1\over (m-2)!}) \\\\=&{1\over e}(e+3e+e) \\\\=&5 \end{aligned}\)
会发现的一个规律就是 \(\displaystyle \forall k\geq 0\to \sum_{m=0}^\infty {m^{\underline k}\over m!}=\sum_{m=k}^\infty {1\over (m-k)!}=e\)
所以，很显然想到，如果我们将多项式化为 \(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i=\sum_{i=0}^n b_ix^{\underline i}\) 的形式，则答案有：
\(\begin{aligned} &{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {P(m)\over m!} \\\\=&{1\over e}\sum_{m=0}^\infty {1\over m!}\sum_{i=0}^n b_im^{\underline i} \\\\=&{1\over e}\sum_{i=0}^n b_i\sum_{m=0}^\infty {m^{\underline i}\over m!} \\\\=&{1\over e}\sum_{i=0}^n b_ie \\\\=&\sum_{i=0}^n b_i \end{aligned}\)
于是问题转化为了如何快速求 \(\{b_n\}\) 或如何快速求 \(\displaystyle \sum_{i=0}^n b_i\)
如果是求解 \(\{b_n\}\) ，则需要将普通多项式转下降幂多项式，这是 \(O(n\log^2 n)\) 的，且常数极大，通过本题不大现实
但考虑到普通幂和下降幂之间存在关系：\(\displaystyle x^n=\sum_{k=0}^n\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}x^{\underline k}\)
代入 \(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i=\sum_{i=0}^n b_ix^{\underline i}\) 得：
\(\begin{aligned} \sum_{i=0}^n b_ix^{\underline i}&=\sum_{i=0}^n a_ix^i \\\\\sum_{i=0}^n b_ix^{\underline i}&=\sum_{i=0}^n a_i\sum_{k=0}^i\left\{ \begin{matrix} i \\ k \end{matrix} \right\}x^{\underline k} \\\\\sum_{i=0}^n b_ix^{\underline i}&=\sum_{k=0}^n\sum_{i=k}^n a_i\left\{ \begin{matrix} i \\ k \end{matrix} \right\}x^{\underline k} \\\\b_i&=\sum_{k=i}^n a_k\left\{ \begin{matrix} k \\ i \end{matrix} \right\}&\text{（对比系数）} \\\\\sum_{i=0}^n b_i&=\sum_{i=0}^n\sum_{k=i}^n a_k\left\{ \begin{matrix} k \\ i \end{matrix} \right\} \\\\\sum_{i=0}^n b_i&=\sum_{k=0}^n a_k\sum_{i=0}^k \left\{ \begin{matrix} k \\ i \end{matrix} \right\} \end{aligned}\)
注意到 \(a_k\) 后面项实际上是 \(\displaystyle \sum_{i=0}^k \left\{ \begin{matrix} k \\ i \end{matrix} \right\}\) ，即第二类斯特林数按行求和，本质上就是贝尔数 \(\displaystyle Bell_k=\sum_{i=0}^k \left\{ \begin{matrix} k \\ i \end{matrix} \right\}\)
因此答案 \(\displaystyle \sum_{k=0}^n b_k=\sum_{k=0}^n a_kBell_k\)
预处理的时候，用贝尔数的指数型生成函数 \(\displaystyle \hat{Bell}(x)=\sum_{i=0}^\infty Bell_i {x^i\over i!}=\exp(e^x-1)\) 预处理所有贝尔数
每次询问的时候“向量点乘”一下即可。