【BZOJ 2839】 2839: 集合计数 （容斥原理）

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

     对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

【分析】

　　我的容斥好垃圾哦。。。

　　答案=至少交集为k-至少交集为k+1+至少交集为k+2

　　注意‘至少’的意义。如若不是，那么是不需要容斥的。而是答案=至少交集为k-交集为k+1-交集为k+2-交集为k+3。。。

　　算‘至少’好算多了，你只要保证了有k个，后面的东西都随便了。

　　

从n个数中选出k个作为交集中的数,是C(n,k)，这样的集合共有2^(2^(n-k))-1个

2^(n-k)是包含选定的k个数的可选集合的数量，选取方案有2^(2^(n-k))-1个(不能有空集否则无法保证k个元素)

所以ans=C(n,k)*C(k,k)*(2^(2^(n-k))-1)-C(n,k+1)*C(k+1,k)*2^(2^(n-k-1)

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define Maxn 1000010
const int Mod=1000000007;

int pw[Maxn],inv[Maxn],tpw[Maxn];

void init(int n)
{
    // tpw[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) tpw[i]=1LL*tpw[i-1]*2%Mod;
    pw[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=1LL*pw[i-1]*i%Mod;
    inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1LL*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
    inv[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%Mod;
}

int qpow(int x,int b,int p)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1LL*ans*x%p;
        x=1LL*x*x%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int get_c(int n,int m)
{
    return 1LL*pw[n]*inv[n-m]%Mod*inv[m]%Mod;
}

int f[Maxn];
int main()
{
    int n,k,ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    init(n);
    for(int i=n;i>=k;i--)
    {
        f[i]=1LL*(qpow(2,qpow(2,n-i,Mod-1),Mod)-1)*get_c(n,i)%Mod*get_c(i,k)%Mod;
    }
    for(int i=k+1;i<=n;i++)
    {
        if((i-k)&1) f[k]-=f[i];
        else f[k]+=f[i];
        f[k]%=Mod;
    }
    f[k]=(f[k]+Mod)%Mod;
    printf("%d
",f[k]);
    return 0;
}

2017-04-19 10:44:21