我是不会说我是想写林克卡特树才来学这个东西的
dp凸优化/带权二分
这个东西其实挺有用的,
dp凸优化是来解决这类问题的
你有一些操作,操作(i)会对答案有贡献(w_i),选的操作越多,(w_i)越小/大
问恰好进行(k)次操作所得到的最大/小答案
普通解法
额外记一维(k)表示进行了(k)次操作
复杂度(O(nk))
(dp)凸优化
先考虑去掉(k)这个限制
假设我们要求最大贡献,
我们给每个物品一个附加权值(C)
显然(C)越大时
我们选的物品个数越多
于是我们就可以二分这个(C),来让物品个数刚好等于这个(k)
具体的,
当物品个数(>C)时,我们调小(C)
否则调大(C)
最后的答案减去(C*k)即可.
为什么叫凸优化呢?
因为这个优化要满足,以k为横坐标,(f[n][k])为纵坐标,图像形成一个上凸包
我们调整(C)的过程就是以一条斜率为(C)的斜线去切这个凸包,以得到(x=k)这个点的最大值,
所以我们要求的截距当然要减去(Cx)了
当然可能出现凸包上两点斜率等于切线斜率的时候
但这并没有关系
以下是(wqs)的论文(?)
如果发现(C)取(x)时，所有最优解中最小的分段数大于(K)，而取(x+1)时最小的分段数小于(K)，那么(C)取(x+1)时也存在分段数为(K)的最优解，只需取此时的最优答案减((x+1)K)
也就是我们选择大的那个更新答案并没有问题,因为斜率是一样的