bzoj3450 Tyvj1952 Easy

Tyvj1952 Easy

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

某一天WJMZBMR在打osu~~~但是他太弱逼了，有些地方完全靠运气:(
我们来简化一下这个游戏的规则
有n次点击要做，成功了就是o，失败了就是x，分数是按comb计算的，连续a个comb就有aa分，comb就是极大的连续o。
比如ooxxxxooooxxx，分数就是22+4*4=4+16=20。
Sevenkplus闲的慌就看他打了一盘，有些地方跟运气无关要么是o要么是x，有些地方o或者x各有50%的可能性，用?号来表示。
比如oo?xx就是一个可能的输入。
那么WJMZBMR这场osu的期望得分是多少呢？
比如oo?xx的话，?是o的话就是oooxx => 9，是x的话就是ooxxx => 4
期望自然就是(4+9)/2 =6.5了

Input

第一行一个整数n，表示点击的个数
接下来一个字符串，每个字符都是ox？中的一个

Output

一行一个浮点数表示答案
四舍五入到小数点后4位
如果害怕精度跪建议用long double或者extended

Sample Input

4
????

Sample Output

4.1250

n<=300000
osu很好玩的哦
WJMZBMR技术还行(雾),x基本上很少呢

这道题是真的玄学啊。
先说一下这道题的大概做法：

考虑每个位置对答案的贡献是多少。
若前面串的长度是(len)
若这个地方是(o) 那他对答案的贡献就是((len+1)^2-len^2=2*len+1),现在的(len)长就变成(len+1)了。
若这个地方是(x),那他对答案的贡献是(0)，(len)长变成(0).
若是?,那分情况讨论：
有(0.5)的概率是(o),对答案的贡献是(2*len+1), (len=len+1)
有(0.5)的概率是(x),对答案的贡献是(0)，(len=0)
所以(?)对答案的贡献是(0.5*(2*len+1)+0.5*0),(len=0.5*(len+1)+0.5*0)

那么为什么这样是对的呢？（我们必须至少自己说服自己啊233）
我们可以这样考虑：
对于每一个位置的?
设当前的长度为(len)（不包括这个？）
那么它有两种可能：(len = 0) 或者 (len = len + 1)
显然后面对答案的贡献和这次的选择有关系，我们设这个点以后的贡献为(f(len))
由于我们已经证明了对于每一个点的贡献和len的长度是一次函数关系((2*len+1))，那么我们可以利用这个性质。
举个例子: 设(g(x) = k*x + b),那么(g(1) + g(3) = 2 * g(2))（你可以理解为把(k)提出来，常数抵消）
所以，这个点对答案的贡献就为(f(len + 1) + f(0) = f(frac{1}{2}*(len + 1 + 0)) = f(0.5*len+0.5))
所以，我们可以用(0.5*len+0.5)这个平均值来代替这两个不同的情况。
那么对于当前这个点本身的贡献就更简单了(frac{1}{2}*(2 * len + 1) + frac{1}{2} * 0)
(自己说服了自己，感觉自己yy的方法很是很不错的滴)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 5;
long double dp[maxn][4];
char s[maxn];
int n, lin;
double ans = 0, len = 0;

int main()
{
	scanf("%d", &n); scanf("%s", s + 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if(s[i] == 'x'){len = 0;}
		if(s[i] == 'o'){ans += 2 * len + 1; len++;}
		if(s[i] == '?'){ans += len + 0.5; len = 0.5 * len + 0.5;}
	}	
	printf("%.4f", ans);
	return 0;
}