第三节--k近邻算法

第三节–k近邻算法

k近邻法(k-nearest neighbor,KNN)是一种基本分类与回归方法.k近邻法的输入为实例的特征变量,对应于特征空间的点,输出为实例的类别,可以取多类.k近邻法假设给定一个训练数据集,其中的实例类别已定,分类时,对新的实例,根据其k个最近邻的训练实例的类别,通过多数表决等方式进行预测.因此,k近邻法不具有显式的学习过程,k近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分,并作为其分类的"模型".k值的选择,距离度量及分类决策规则是k近邻法的三个基本要素

首先叙述k近邻算法,然后讨论k近邻法的模型及三个基本要素,最后讲述k近邻法的一个实现方法–kd树

一.k近邻算法

k近邻算法简单,直观：给定一个训练数据集,对新的输入实例,在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例,这k个实例的多树属于某个类,就把该输入实例分为这个类

输入：训练数据集
$T=left{left(x_{1}, y_{1} ight),left(x_{2}, y_{2} ight), cdots,left(x_{N}, y_{N} ight) ight}$

其中,$x_{i} in mathcal{X} subseteq mathbf{R}^{n}$为实例的特征向量,$y_{i} in mathcal{Y}=left{c_{1}, c_{2}, cdots, c_{K} ight}$为实例的类别,$i=1,2, cdots, N$;实例特征向量x

输出：实例x所属的类y

1. 根据给定的距离度量,在训练集T中找出与x最近邻的k个点,涵盖这k个点的x的邻域记作为$N_{k}(x)$
2. 在$N_{k}(x)$中根据分类决策规则(如多数表决)决定x的类别y：
   $y=arg max _{c_{j}} sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i}=c_{j} ight),i=1,2, cdots, N, quad j=1,2, cdots, K$
   其中I为指示函数,即当$y_{i}=c_{j}$时I为1,否则I为0

k近邻法的特殊情况是k=1的情形,称为最近邻算法,对于输入的实例点(特征向量)x,最近邻法将训练数据集中与x最近邻点的类作为x的类

k近邻法没有显式的学习过程

二.k近邻模型

k近邻法使用的模型实际上对应于对特征空间的划分,模型由三个基本要素—距离度量,k值的选择和分类决策规则决定

1.模型

k近邻法中,当训练集,距离度量(如欧式距离),k值及分类决策规则(如多数表决)确定后.对于任何一个新的输入实例,它所属的类唯一地确定.这相当于根据上述要素将特征空间划分为一些子空间,确定子空间里的每个点所属的类,这一事实从最近邻算法中可以看得很清楚

特征空间中,对每个训练实例点$x_{i}$,距离该点比其他点更近的所有点组成一个区域,叫作单元(cell).每个训练实例点拥有一个单元,所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分,最近邻法将实例$x_{i}$的类$y_{i}$作为其单元中所有点的类标记(class label).这样,每个单元的实例点的类别是确定的

from IPython.display import Image
Image(filename="./data/3_1.png",width=500)

2.距离度量

特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映.k近邻模型的特征空间一般是n维实数向量空间$mathbf{R}^{n}$.使用的距离是欧式距离,但也可以是其他距离.如更一般的$L_{p}$距离($L_{p}$ distance)或Minkowski距离(Minkowski distance)

设特征空间$mathcal{X}$是n维实数向量空间$mathbf{R}^{n}$,$x_{i}, x_{j} in mathcal{X}, quad x_{i}=left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, cdots, x_{i}^{(n)} ight)^{ op},x_{j}=left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, cdots, x_{j}^{(n)} ight)^{mathrm{T}}$,$x_{i}, x_{j}$的$L_{p}$距离定义为：
$L_{p}left(x_{i}, x_{j} ight)=left(sum_{i=1}^{n}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)} ight|^{p} ight)^{frac{1}{p}}$

这里p≥1.当p=2时,称为欧式距离(Euclidean distance),即：
$L_{2}left(x_{i}, x_{j} ight)=left(sum_{i=1}^{n}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)} ight|^{2} ight)^{frac{1}{2}}$

当p=1时,称为曼哈顿距离(Manhattan distance),即：
$L_{1}left(x_{i}, x_{j} ight)=sum_{l=1}^{n}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)} ight|$

当$p=infty$时,称为闵式距离(Minkowski distance),它是各个坐标距离的最大值,即：
$L_{infty}left(x_{i}, x_{j} ight)=max _{l}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)} ight|$

下图给出了二维空间中p取不同值时,与原点的$L_{p}$距离为1($L_{p}$=1)的点的图片

Image(filename="./data/3_2.png",width=500)

下面的例子说明,由不同的距离度量所确定的最近邻点是不同的

实例1：已知二维空间的3个点$x_{1}=(1,1)^{mathrm{T}}, x_{2}=(5,1)^{mathrm{T}}, x_{3}=(4,4)^{mathrm{T}}$,试求在p取不同值时,$L_{p}$距离下$x_{1}$的最近邻点

Image(filename="./data/3_3.png",width=500)

于是得到：p等于1或2时,$x_{2}$是$x_{1}$的最近邻点;p大于等于3时,$x_{3}$是$x_{1}$的最近邻点

3.k值的选择

k值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响

如果选择较小的k值,就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测,"学习"的近似误差(approximation error)会减小,只有与输入实例较近的训练实例才会对预测结果其作用,但缺点是"学习"的估计误差(estimation error)会增大,预测结果会近邻的实例点非常敏感.如果邻近的实例点恰巧是噪声.预测就会出错.换句话说,k值的减小就意味着整体模型变得复杂,容易发生过拟合

如果选择较大的k值,就相当于用较大邻域中的训练实例进行预测,其优点是可以减少学习的估计误差,但缺点是学习的近似误差会增大.这时与输入实例较远训练实例也会对预测其作用,使预测发生错误,k值的增大就意味着整体的模型变得简单

4.分类决策规则

k近邻法中的分类决策规则往往是多数表决,即由输入实例的k个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类

多数表决规则(majority voting rule)有如下解释：如果分类的损失函数为0-1损失函数,分类函数为：
$f : mathbf{R}^{n} ightarrowleft{c_{1}, c_{2}, cdots, c_{K} ight}$

那么误分类的概率是：
$P(Y eq f(X))=1-P(Y=f(X))$

对给定的实例$x in mathcal{X}$,其最近邻的k个训练实例点构成集合$N_{k}(x)$.如果涵盖$N_{k}(x)$的区域的类别是$c_{j}$,那么误分类率是：
$frac{1}{k} sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i} eq c_{j} ight)=1-frac{1}{k} sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i}=c_{j} ight)$

要使误分类率最小即检验风险最小,就要使$sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i}=c_{j} ight)$最大,所以多数表决规则等价于经验风险最小化

三.k近邻法的实现：kd树

实现k近邻法时,主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索.这点在特征空间的维数大及训练数据容量大时尤其必要

k近邻法最简单的实现方法是线性扫描(linear scan).这时要计算输入实例与每一个训练实例的距离.当训练集很大时,计算非常耗时,这种方法是不可行的

为了提高k近邻搜索的效率,可以考虑使用特殊的结构存储训练数据,以减少计算距离的次数.kd树(kd tree)方法就是一种

1.构造kd树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构.kd树是二叉树,表示对k维空间的一个划分(partition).构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间划分,构成一系列的k维超矩形区域.kd树的每个结点对应于一个k维矩形区域

构造kd树的方法如下：构造根结点,使根结点对应于k维空间中包含所有实例点的超矩形区域;通过下面的递归方法,不断地对k维空间进行切分,生成子结点,在超矩形区域(结点)上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点,确定一个超平面,这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴.将当前超矩形区域切分为左右两个子区域(子结点);这时实例被分到两个子区域,这个过程直到子区域内没有实例时停止(终止时的结点为叶结点).在此过程中,将实例保存在相应的结点上

通常,依次选择坐标轴对空间切分.选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数(median)为切分点,这样得到的kd树是平衡的.注意,平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的

构造平衡kd树

输入：k维空间数据集$T=left{x_{1}, x_{2}, cdots, x_{N} ight}$
其中$x_{i}=left(x_{i}^{(0)}, x_{i}^{(2)}, cdots, x_{i}^{(k)} ight)^{mathrm{T}}, quad i=1,2, cdots, N$

输出：kd树

1. 开始：构造根结点,根结点对应于包含$T$的k维空间的超矩形区域
   选择$x^{(1)}$为坐标轴,以$T$中所有实例的$x^{(1)}$的中位数为切分点,将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域.切分由通过切分点并与坐标轴$x^{(1)}$垂直的超平面

由根结点生成深度为1的左右子结点;左子结点对应坐标$x^{(1)}$小于切分点的子区域,右子结点对应于坐标$x^{(1)}$大于切分点的子区域

将落在切分超平面上的实例点保存在根结点

2. 重复：对深度为j的结点,选择$x^{(l)}$为切分的坐标轴,$l=j(mod k)+1$以该结点的区域中所有实例的$x^{(l)}$坐标的中位数为切分点,将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域,切分由通过切分点并与坐标轴$x^{(l)}$垂直的超平面实现

由该结点生成深度为j+1的左右子结点：左子结点对应坐标$x^{(l)}$小于切分点的子区域,右子结点对应坐标$x^{(l)}$大于切分点的子区域

将落在切分超平面上的实例点保存在该结点

3. 直到两个子区域没有实例存在时停止,从而形成kd树的区域划分

实例2：给定一个二维空间的数据集
$T=left{(2,3)^{mathrm{T}},(5,4)^{mathrm{T}},(9,6)^{mathrm{T}},(4,7)^{mathrm{T}},(8,1)^{mathrm{T}},(7,2)^{mathrm{T}} ight}$
构造一个平衡kd树

解：根结点对应包含数据集$T$的矩形,选择$x^{(1)}$轴,6个数据点的$x^{(1)}$坐标的中位数是7(注意：2,4,5,7,8,9在数学中的中位数为6,但因该算法的中值需在点集合之内,所以中值计算用的是len(points)/2=3,points[3]=(7,2)),以平面$x^{(1)}=7$将空间分为左右两个子矩形(子结点);接着,左矩形以$x^{(2)}=4$分为两个子矩形,右矩形以$x^{(2)}=6$分为两个子矩形,如此递归,最后得到如图所示的特征空间划分和kd树

Image(filename="./data/3_5.png",width=500)

Image(filename="./data/3_4.png",width=500)

2.搜索kd树

利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索,从而减少搜索的计算量,这里以最近邻为例加以叙述,同样的方法可以应用到k近邻

给定一个目标点,搜索其最近邻.首先找到包含目标点的叶结点;然后从该叶结点出发,依次回退到父结点;不断查找与目标点最近邻的结点,当确定不可能存在更近的结点时终止,这样搜索就被限制在空间的局部区域上,效率大为提高

用kd树的最近邻搜索

输入：已构造的kd树,目标点x
输出：x的最近邻

1. 在kd树中找出包含目标点x的叶结点;从根结点出发,递归地向下访问kd树,若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标,则移动左子结点,否则移动到右子结点,直到子结点为叶节点为止

2. 以此叶节点为"当前最近点"

3. 递归地向上回退,在每个节点进行一下操作
   a.如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近,则以该实例点为"当前最近点"
   b.当前最近点一定存在于该结点一个子结点对应的区域.检查该子结点的父结点的另一个结点对应的区域是否有更近的点.具体地,检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心,以目标点与"当前最近点"间的距离为半径的超球体相交
   如果相交,可能在另一个子结点对应的区域内存在距目标点更近的点,移动到另一个子结点.接着递归地进行最近邻搜索
   如果不想交,向上回退

4. 当回退到根结点时,搜索结束,最后的"当前最近点"即为x的最近邻点
   如果实例点是随机分布的,kd树搜索的平均计算复杂度是$O(log N)$

实例：给定一个如下图所示的kd树,根节点为A,其子结点为B,C等,树上共存储7个实例点;另一个输入目标实例点S,求S的最近邻

Image(filename="./data/3_8.png",width=500)

首先在kd树中找到包含点S的叶结点D(图中的右下区域),以点D作为近似最近邻.真正最近邻一定在以点S为中心通过点D的圆的内部.然后返回结点D的父结点B,在结点B的另一子结点F的区域内搜索最近邻,结点F的区域与圆不想交,不可能有最近邻点,继续返回上一级父结点A,在结点A的另一子结点C的区域内搜索最近邻,结点C的区域与圆相交;该区域在园内的实例点有点E,点E比点D更近,成为新的最近邻近似,最后得到点E是点S的最近邻

四.代码实现

1.度量距离

import math
from itertools import combinations

# p=1 Manhattan distance
# p=2 Euclidean distance
# p=3 Minkowski distance
def L(x,y,p=2):
    # x1=[1,1] x2=[5,1]
    if len(x)==len(y) and len(x)>1:
        sum=0
        for i in range(len(x)):
            sum+=math.pow(abs(x[i]-y[i]),p)
        return math.pow(sum,1/p)
    else:
        return 0

# 实例1
x1=[1,1]
x2=[5,1]
x3=[4,4]

# x1,x3
for i in range(1,5):
    r={"1-{}".format(c):L(x1,c,p=i) for c in [x2,x3]}
    print(min(zip(r.values(),r.keys())))

(4.0, '1-[5, 1]')
(4.0, '1-[5, 1]')
(3.7797631496846193, '1-[4, 4]')
(3.5676213450081633, '1-[4, 4]')

2.自定义KNN分析iris

遍历所有数据点,找出n个距离最近的点的分类情况,少数服从多数

%matplotlib inline
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import Counter

iris=load_iris()
df=pd.DataFrame(iris.data,columns=iris.feature_names)
df["label"]=iris.target
df.columns=["sepal length","sepal width","petal length","petal width","label"]
# data=np.array(df.iloc[:100,[0,1,-1]])

df

	sepal length	sepal width	petal length	petal width	label
0	5.1	3.5	1.4	0.2	0
1	4.9	3.0	1.4	0.2	0
2	4.7	3.2	1.3	0.2	0
3	4.6	3.1	1.5	0.2	0
4	5.0	3.6	1.4	0.2	0
5	5.4	3.9	1.7	0.4	0
6	4.6	3.4	1.4	0.3	0
7	5.0	3.4	1.5	0.2	0
8	4.4	2.9	1.4	0.2	0
9	4.9	3.1	1.5	0.1	0
10	5.4	3.7	1.5	0.2	0
11	4.8	3.4	1.6	0.2	0
12	4.8	3.0	1.4	0.1	0
13	4.3	3.0	1.1	0.1	0
14	5.8	4.0	1.2	0.2	0
15	5.7	4.4	1.5	0.4	0
16	5.4	3.9	1.3	0.4	0
17	5.1	3.5	1.4	0.3	0
18	5.7	3.8	1.7	0.3	0
19	5.1	3.8	1.5	0.3	0
20	5.4	3.4	1.7	0.2	0
21	5.1	3.7	1.5	0.4	0
22	4.6	3.6	1.0	0.2	0
23	5.1	3.3	1.7	0.5	0
24	4.8	3.4	1.9	0.2	0
25	5.0	3.0	1.6	0.2	0
26	5.0	3.4	1.6	0.4	0
27	5.2	3.5	1.5	0.2	0
28	5.2	3.4	1.4	0.2	0
29	4.7	3.2	1.6	0.2	0
...	...	...	...	...	...
120	6.9	3.2	5.7	2.3	2
121	5.6	2.8	4.9	2.0	2
122	7.7	2.8	6.7	2.0	2
123	6.3	2.7	4.9	1.8	2
124	6.7	3.3	5.7	2.1	2
125	7.2	3.2	6.0	1.8	2
126	6.2	2.8	4.8	1.8	2
127	6.1	3.0	4.9	1.8	2
128	6.4	2.8	5.6	2.1	2
129	7.2	3.0	5.8	1.6	2
130	7.4	2.8	6.1	1.9	2
131	7.9	3.8	6.4	2.0	2
132	6.4	2.8	5.6	2.2	2
133	6.3	2.8	5.1	1.5	2
134	6.1	2.6	5.6	1.4	2
135	7.7	3.0	6.1	2.3	2
136	6.3	3.4	5.6	2.4	2
137	6.4	3.1	5.5	1.8	2
138	6.0	3.0	4.8	1.8	2
139	6.9	3.1	5.4	2.1	2
140	6.7	3.1	5.6	2.4	2
141	6.9	3.1	5.1	2.3	2
142	5.8	2.7	5.1	1.9	2
143	6.8	3.2	5.9	2.3	2
144	6.7	3.3	5.7	2.5	2
145	6.7	3.0	5.2	2.3	2
146	6.3	2.5	5.0	1.9	2
147	6.5	3.0	5.2	2.0	2
148	6.2	3.4	5.4	2.3	2
149	5.9	3.0	5.1	1.8	2

150 rows × 5 columns

plt.scatter(df[:50]["sepal length"],df[:50]["sepal width"],label="0")
plt.scatter(df[50:100]["sepal length"],df[50:100]["sepal width"],label="1")
plt.xlabel("sepal length")
plt.ylabel("sepal width")
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x18193faffd0>

data=np.array(df.iloc[:100,[0,1,-1]])
X,y=data[:,:-1],data[:,-1]
X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,y,test_size=0.2)

class KNN(object):
    def __init__(self,X_train,y_train,n_neighbors=3,p=2):
        """
        parameter:n_neighbors 临近点个数
        parameter:p 距离度量
        """
        self.n=n_neighbors
        self.p=p
        self.X_train=X_train
        self.y_train=y_train
        
    def predict(self,X):
        # 取出n个点
        knn_list=[]
        for i in range(self.n):
            dist=np.linalg.norm(X-self.X_train[i],ord=self.p)
            knn_list.append((dist,self.y_train[i]))
            
        for i in range(self.n,len(self.X_train)):
            max_index=knn_list.index(max(knn_list,key=lambda x:x[0]))
            dist=np.linalg.norm(X-self.X_train[i],ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0]>dist:
                knn_list[max_index]=(dist,self.y_train[i])
                
        # 统计
        knn=[k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs=Counter(knn)
        max_count=sorted(count_pairs,key=lambda x:x)[-1]
        return max_count
    
    def score(self,X_test,y_test):
        right_count=0
        n=10
        for X,y in zip(X_test,y_test):
            label=self.predict(X)
            if label==y:
                right_count+=1
        return right_count/len(X_test)

clf=KNN(X_train,y_train)

clf.score(X_test,y_test)

1.0

test_point=[6.0,3.0]
print("Test Point:{}".format(clf.predict(test_point)))

Test Point:1.0

plt.scatter(df[:50]["sepal length"],df[:50]["sepal width"],label="0")
plt.scatter(df[50:100]["sepal length"],df[50:100]["sepal width"],label="1")
plt.plot(test_point[0],test_point[1],"bo",label="test_point")
plt.xlabel("sepal length")
plt.ylabel("sepal width")
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x181944c5588>

3.sklearn实现KNN

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

clf_sk=KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train,y_train)

KNeighborsClassifier(algorithm='auto', leaf_size=30, metric='minkowski',
           metric_params=None, n_jobs=None, n_neighbors=5, p=2,
           weights='uniform')

clf_sk.score(X_test,y_test)

1.0

sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier主要参数说明：

• n_neighbors:临近点个数
• p:度量距离
• algorithm:近邻算法,可选{“auto”,“ball_tree”,“kd_tree”,“brute”}
• weights:确定近邻的权重

4.kd树

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下 
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split      # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left        # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right      # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
 
 
class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度
        
        def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set:    # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2      # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]        # 中位数分割点             
            split_next = (split + 1) % k        # cycle coordinates
            
            # 递归的创建kd树
            return KdNode(median, split, 
                          CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),     # 创建左子树
                          CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 创建右子树
                                
        self.root = CreateNode(0, data)         # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):  
    print (root.dom_elt)  
    if root.left:      # 节点不为空
        preorder(root.left)  
    if root.right:  
        preorder(root.right)

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")
  
def find_nearest(tree, point):
    k = len(point) # 数据维度
    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:     
            return result([0] * k, float("inf"), 0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
 
        nodes_visited = 1
        
        s = kd_node.split        # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”
        
        if target[s] <= pivot[s]:           # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node  = kd_node.left     # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right    # 同时记录下右子树
        else:                               # 目标离右子树更近
            nearer_node  = kd_node.right    # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left
 
        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域
        
        nearest = temp1.nearest_point       # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist           # 更新最近距离
        
        nodes_visited += temp1.nodes_visited  
 
        if dist < max_dist:     
            max_dist = dist    # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
            
        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])    # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if  max_dist < temp_dist:                # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交则可以直接返回，不用继续判断
            
        #----------------------------------------------------------------------  
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离  
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2) ** 2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))     
        
        if temp_dist < dist:         # 如果“更近”
            nearest = pivot          # 更新最近点
            dist = temp_dist         # 更新最近距离
            max_dist = dist          # 更新超球体半径
        
        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist) 
        
        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:        # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point    # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist        # 更新最近距离
 
        return result(nearest, dist, nodes_visited)
 
    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归

# 实例2
data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)

[7, 2]
[5, 4]
[2, 3]
[4, 7]
[9, 6]
[8, 1]

from time import clock
from random import random

# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]
 
# 产生n个k维随机向量 
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]

ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

Result_tuple(nearest_point=[2, 3], nearest_dist=1.8027756377319946, nodes_visited=4)

N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N))            # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8])      # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)

E:Anacondaenvsmytensorflowlibsite-packagesipykernel_launcher.py:2: DeprecationWarning: time.clock has been deprecated in Python 3.3 and will be removed from Python 3.8: use time.perf_counter or time.process_time instead
  


time:  6.159827752999263 s
Result_tuple(nearest_point=[0.09732020950704356, 0.49930092577904095, 0.8029864162744909], nearest_dist=0.004072918366121865, nodes_visited=42)


E:Anacondaenvsmytensorflowlibsite-packagesipykernel_launcher.py:5: DeprecationWarning: time.clock has been deprecated in Python 3.3 and will be removed from Python 3.8: use time.perf_counter or time.process_time instead
  """