[P1169] 棋盘制作 &悬线法学习笔记

学习笔记 悬线法

• 最大子矩阵问题：

          在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的，边与整个矩形平行或重合的最大子矩形。

          极大子矩型：无法再向外拓展的有效子矩形

          最大子矩型：最大的一个有效子矩形

          特别的，在一个有障碍点的矩形中，最大子矩形一定是极大子矩形 

•  悬线法

           悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段

           每个悬线上的点的与底部的点一一对应，矩形中每一个点（矩形顶部点除外）都对应了一条悬线。

           如果把一条悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形。

           注意：悬线对应的矩型不一定是极大子矩阵，因为悬线定义中固定了悬线的下边界，故而，悬线左右移动所得到的矩形无法向下扩展。

• 悬线法的实现

      三个重要的元素：

1. height_i,j ：表示以( i ,j )为底的悬线的高 (初始化为1)
2. left_{i,j        ：表示向左最多能移动到的位置  （初始化为j）}
3. right_{i,j     ： 表示向右最多能移动到的位置   （初始化为j）}

       其中的left,right要视题目要求进行进一步的初始化，如例题

      转移：

      如果点  不是障碍点，那么，以  为底的悬线就等于以  为底的悬线加点  到点       的线段。因此，  。

       

        当然还要注意左右边界的问题

       以上图片转自  https://zhuanlan.zhihu.com/p/46382722

        画个图理解一下

        那么计算面积就轻而易举

        

      对于以点  为底的悬线对应的子矩形，其面积计算为

    问题解：

    时间复杂度：  ；空间复杂度： 

 例题：luogu P1169 棋盘制作

直接上代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define maxn 2010
#define re register
using namespace std;
int n,m,ans1,ans2;
int map[maxn][maxn],height[maxn][maxn];
int l[maxn][maxn],r[maxn][maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(re int i=1;i<=n;++i)
     for(re int j=1;j<=m;++j)
     {
         scanf("%d",&map[i][j]);
         height[i][j]=1;
         l[i][j]=r[i][j]=j;
     }
    for(re int i=1;i<=n;++i)
     for(re int j=2;j<=m;++j)
     {
         if(map[i][j]!=map[i][j-1])
         l[i][j]=l[i][j-1];
     }
    for(re int i=1;i<=n;++i)
     for(re int j=m-1;j>=1;j--)
     {
         if(map[i][j]!=map[i][j+1])
         r[i][j]=r[i][j+1];
     }
    //以上为初始化
    for(re int i=1;i<=n;++i)
      for(re int j=1;j<=m;++j)
      {
          if(i>1&&map[i][j]!=map[i-1][j])
          {
              height[i][j]=height[i-1][j]+1;
              l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
              r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
        }
        int a=r[i][j]-l[i][j]+1;
        int b=min(height[i][j],a);
        ans1=max(ans1,a*height[i][j]);//最大矩形 
        ans2=max(ans2,b*b);//最大正方形 
      }
      printf("%d
%d",ans2,ans1); 
    return 0;
}

注：部分内容转载自  
Flavius Buffon：悬线法用来求解最大子矩形问题 同时也是参考文献