P1131 【ZJOI2007】 时态同步

#$Description$ [题面](https://www.luogu.org/problem/P1131) 给你一颗有根树，你只能增加一条边的边权，最后需要使得根到每个叶子节点的距离相等 #$Solution$ 一道有点贪心意味的$DP$题，假设一开始根节点到叶子节点的最远距离为$d$，考虑到只能加边权不能减边权，**显然最终根节点到所有叶子节点的距离$d2$一定等于$d$** **所以整个过程是一个将每条路径长度“对齐”的过程** 我们进行树形$DP$，从叶子节点到根节点转移。设当前节点是$u$,那么必须保证向上传递时$u$到它的子树内的每个叶子节点距离相等，否则就永远“对不齐”了。 

就拿上面这个例子来说，假如(dis(a,u)!=dis(b,u))，那么对(u)上面的边((i))无论怎么修改，(a,b)向上的距离是同等增大的，(dis(a,fa))一定不等于(dis(b,fa))（类似于分配律）
我们为确保答案合法，一定要在(u)节点是保证(dis(u,a)=dis(u,b))，即让它到子树中每个叶子节点距离相等，所以可以改变(j、k)变使他们对齐，只需要都加成(u)到叶子节点距离的最大值即可。

这样做一定能确保最终所有距离相等，且我们在尽可能向上的边（如果再往上就是(i)边，修改不能使答案合法）修改，类似于分配的思想，一定比在下面修改花费的代价更小。（因为在上面(+2)等效于对每条路径(+2)，所以在合法的情况下越往上越优）

在代码实现上，我们先要预处理每个节点到子树中的叶子结点的最大距离(maxx[u])，方便后面对齐操作计算代价使用，在回溯的时候搞一下
然后再次(dfs)做树形(dp)统计答案即可(事实上可以放一块，但是我懒得写)
记得开(long long)

(Code)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define re register
#define maxn 500010
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
struct Edge{
	int v,w,nxt;
}e[maxn<<2];
int to_l[maxn],tmp[maxn],cnt2,maxx[maxn];
int max_dis,x,y,z,root,head[maxn],cnt,n,dp[maxn];
inline void add(int u,int v,int w)
{
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int ev=e[i].v;
		if(ev==fa) continue;
		dfs1(ev,u);
		maxx[u]=max(maxx[ev]+e[i].w,maxx[u]);
	}
}
void dfs2(int u,int fa)
{
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int ev=e[i].v;
		if(ev==fa) continue;
		dfs2(ev,u);
		dp[u]+=(maxx[u]-(maxx[ev]+e[i].w));//计算对齐需要的花费 
		dp[u]+=dp[ev];//不要忘了把子树的答案传递上来 
	}
}
signed main()
{
	n=read();
	root=read();
	for(re int i=1;i<n;++i)
	{
		x=read(),y=read(),z=read();
		add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	dfs1(root,0);//预处理 
	dfs2(root,0);//DP  和上面的放一个函数里也行
	printf("%lld
",dp[root]);
	return 0;
}