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网络流24题解题总结（更新中）

前言

从今天（2018.1.19）起，本人要在这篇文章中持续更新网络流24题的解法。
注意，本人这里贴的做法和代码都以洛谷上的题目版本为准，可能与其他OJ的版本略有出入，所以请自行判断。
为了讨论方便，我们约定以下符号：
$S, T$ ：源点和汇点。
$(u, v, m a x f, c)$ ：表示从 $u$ 到 $v$ 连一条容量为 $m a x f$ ，费用为 $c$ 的边。有时费用为 $0$ 时省略 $c$ 。
$< u, v, m i n f, m a x f, c >$ ：表示从 $u$ 到 $v$ 连一条流量下界为 $m i n f$ ，上界为 $m a x f$ ，费用为 $c$ 的边。有时费用为 $0$ 时省略 $c$ 。
那么，现在就开始吧。

最大流问题

飞行员配对方案问题

更新时间： 2018.1.19
测试地址：飞行员配对方案问题
做法：本题需要用到最大流。
这个题目是很经典的二分图最大匹配的模型了，用匈牙利算法也可以做，但既然出现在网络流24题里，那么就用最大流做即可。具体做法应该不用多说，从 $S$ 到所有外籍飞行员连边，从所有英国飞行员到 $T$ 连边，再在可以配合的飞行员之间连边（从外籍到英国），容量都为 $1$ ，然后跑最大流即可。
至于输出方案，显然可知，在我们连的正向边中满流的边就是匹配边，所以一个循环搞定。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 1000000000
using namespace std;
int m,n,a,b,first[210]={0},tot=1,lvl[210];
struct edge {int v,next,f;} e[100010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[0]=0;
    for(int i=1;i<=m+n+1;i++)
        lvl[i]=-1;
    Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[m+n+1]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==m+n+1) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    return maxf;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++) insert(0,i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(m+i,m+n+1,1);
    while(scanf("%d%d",&a,&b)&&a!=-1) insert(a,b,1);

    printf("%d
",dinic());
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=first[i];j;j=e[j].next)
            if (!e[j].f&&j%2==0) printf("%d %d
",i,e[j].v);

    return 0;
}

最小路径覆盖问题

更新时间： 2018.1.20
测试地址：最小路径覆盖问题
做法：本题需要用到最大流。
求有向无环图的最小路径覆盖，可以转化为二分图最大匹配的模型求解。将每个点拆成两个点 $x_{i}, y_{i}$ ，然后如果原图存在有向边 $i$ -> $j$ ，则在二分图中连 $y_{i}$ -> $x_{j}$ 。注意到，对于该二分图的任意一个匹配，将所有 $x_{i}, y_{i}$ 缩成一个点后，就等价于一个路径覆盖，而且覆盖的路径条数 $=$ 点数 $-$ 匹配数。那么显然，当匹配数最大时，覆盖的路径条数自然就最小，那么我们就得到了一个最小的路径覆盖。因此只用对上面构造出的二分图求最大匹配，可以用最大流解决。输出方案应该也很容易，只需要从路径的开头沿着匹配边走就可以了。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n,m,first[310]={0},tot=1,lvl[310]={0},path[160]={0};
struct edge {int v,next,f;} e[100010];
queue <int> Q;
bool vis[160]={0},in[160]={0};

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[0]=0;
    for(int i=1;i<=2*n+1;i++)
        lvl[i]=-1;
    Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[2*n+1]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==2*n+1) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    return maxf;
}

void output()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=first[2*i-1];j;j=e[j].next)
            if (j%2==0&&!e[j].f) in[e[j].v/2]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (!in[i])
        {
            path[0]=0;
            int x=2*i-1;
            bool flag=1;
            while(flag)
            {
                flag=0;
                path[++path[0]]=(x+1)/2;
                vis[(x+1)/2]=1;
                for(int j=first[x];j;j=e[j].next)
                    if (j%2==0&&!e[j].f) {x=e[j].v-1;flag=1;break;}
            }
            for(int j=path[0];j>=1;j--) printf("%d ",path[j]);
            printf("
");
        }
    for(int i=first[0];i;i=e[i].next)
        if (!vis[(e[i].v+1)/2]) printf("%d
",(e[i].v+1)/2);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        insert(2*b-1,2*a,1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        insert(0,2*i-1,1);
        insert(2*i,2*n+1,1);
    }

    int ans=n-dinic();
    output();
    printf("%d",ans);

    return 0;
}

魔术球问题

更新时间： 2018.1.20
测试地址：魔术球问题
做法：本题需要用到最大流。
我们想办法把该题化成我们见过的模型解决。我们很快想到，需要从小到大枚举球的个数，然后化为判定性问题：能不能用不超过 $n$ 根柱子放下这些球？可以看出，球 $i$ 和 $j (i < j)$ 如果能放在一起，那么就相当于存在有向边 $i$ -> $j$ ，那么一根柱子就相当于一条路径，因此只需对这样构造出的有向图求一个最小路径覆盖，如果路径数不超过 $n$ 就表示能放。求最小路径覆盖我们就很熟悉了，分析详见上面一题。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1000000000
#define s 0
#define t 4009
using namespace std;
int n,m,first[4010]={0},tot=1,lvl[4010]={0},saved=0;
struct edge {int v,next,f;} e[400010];
queue <int> Q;
bool vis[2010]={0},in[2010]={0};

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[s]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        lvl[i]=-1;
    lvl[t]=-1;
    Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&(e[i].v<=m||e[i].v==t)&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[t]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==t) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&(e[i].v<=m||e[i].v==t)&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=saved;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    saved=maxf;
    return maxf;
}

void output()
{
    for(int i=1;i<=m/2;i++)
        for(int j=first[2*i-1];j;j=e[j].next)
            if (j%2==0&&!e[j].f) in[e[j].v/2]=1;
    for(int i=1;i<=m/2;i++)
        if (!in[i]&&!vis[i])
        {
            int x=2*i-1;
            bool flag=1;
            while(flag)
            {
                flag=0;
                printf("%d ",(x+1)/2);
                vis[(x+1)/2]=1;
                for(int j=first[x];j;j=e[j].next)
                    if (j%2==0&&!e[j].f) {x=e[j].v-1;flag=1;break;}
            }
            printf("
");
        }
    for(int i=first[0];i;i=e[i].next)
        if (!vis[(e[i].v+1)/2]&&e[i].v<=m) printf("%d
",(e[i].v+1)/2);
}

bool check(int now)
{
    m=2*now;
    insert(s,2*now-1,1);
    insert(2*now,t,1);
    int j=1;
    for(int i=1;i<now;i++)
    {
        while(j*j<i+now) j++;
        if (j*j==i+now) insert(2*i-1,2*now,1);
    }
    int ans=now-dinic();
    return ans<=n;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);

    int i=1;
    while(check(i)) i++;

    i--;
    m=2*i;
    saved=0;
    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
        e[i].f=1,e[i+1].f=0;
    dinic();
    printf("%d
",i);
    output();

    return 0;
}

圆桌问题

更新时间： 2018.1.20
测试地址：圆桌问题
做法：本题需要用到最大流。
本题是一个经典的二分图多重匹配的模型，显然对于每个单位 $i$ 连接 $(S, i, r_{i})$ ，对于每个餐桌 $j$ 连接 $(j, T, c_{j})$ ，又因为每个餐桌不能坐两个或者以上的同一个单位的代表，所以对于单位 $i$ 和餐桌 $j$ 之间应该连接 $(i, j, 1)$ ，建完之后跑最大流即可。输出方案的方法和前面的二分图最大匹配差不多，不同的是这里有无解的情况，如果最大流不等于所有单位代表人数总和的话，显然是无解的，其余的输出方法详见代码。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t m+n+1
#define inf 1000000000
using namespace std;
int m,n,sum=0,first[510]={0},tot=1,lvl[510];
struct edge {int v,next,f;} e[100010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) lvl[i]=-1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[t]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==t) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(s,inf);
    return maxf;
}

void output()
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=first[i];j;j=e[j].next)
            if (j%2==0&&!e[j].f) printf("%d ",e[j].v-m);
        printf("
");
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        sum+=a;
        insert(s,i,a);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        insert(m+i,t,a);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            insert(i,m+j,1);

    if (dinic()!=sum) printf("0");
    else
    {
        printf("1
");
        output();
    }

    return 0;
}

最长不下降子序列问题

更新时间： 2018.1.21
测试地址：最长不下降子序列问题
做法：本题需要用到DP+最大流。
对于第一问，我们直接 $O (n^{2})$ DP求出答案即可，将答案记为 $K$ 。
对于第二问，令 $f (i)$ 为以第 $i$ 个元素结尾的最长不下降子序列的长度，这个东西在上一步DP时就已经求出来了，接下来我们这样建图：如果两点 $i, j$ 满足关系： $i < j$ 且 $a_{i} \leq a_{j}$ 且 $f (i) + 1 = f (j)$ ，则连有向边 $i$ -> $j$ 。注意到，从任意一个 $f (i) = 1$ 的点，沿这些有向边走到一个 $f (i) = K$ 的点，中间的路径上经过的点就是一个长为 $K$ 的最长不下降子序列，那么问题就转化为：有若干个起点和终点，求最多能有多少条不相交的从起点到终点的路径？这个模型就可以用网络流的方法解决了。
首先，因为每个点只能出现一次，所以有“点流量”的限制，这里每个点的限制都是 $1$ 。一般遇到这种情况，我们可以将一个点拆成两个点 $u, v$ ，并将原点的入边都连到 $u$ ，将原点的出边都连到 $v$ ，然后连接 $(u, v, m a x f)$ ，这里显然 $m a x f = 1$ ，这样就可以解决点流量限制的问题。剩下的部分应该挺容易想出来了，对于所有 $f (i) = 1$ 的点，连接 $(S, u_{i}, 1)$ ，对于所有 $f (i) = K$ 的点，连接 $(v_{i}, T, 1)$ ，对于原图中所有的有向边 $i$ -> $j$ ，对应连接 $(v_{i}, u_{j}, 1)$ ，然后对这个网络跑一次最大流就是第二问的答案。
对于第三问，第 $1$ 和第 $n$ 个元素可以出现多次，那么我们只需将原网络中的 $(S, u_{1}, 1), (u_{1}, v_{1}, 1), (u_{n}, v_{n}, 1), (v_{n}, T, 1)$ 四条边的容量改为 $i n f$ ，然后再跑一次最大流就是第三问的答案。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t 2*n+1
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n,a[510],f[510],mx=0,first[1010]={0},tot=1,lvl[1010];
struct edge {int v,next,f;} e[200010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) lvl[i]=-1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[t]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==t) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    return maxf;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if (a[j]<=a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        for(int j=1;j<i;j++)
            if (a[j]<=a[i]&&f[i]==f[j]+1)
                insert(2*j,2*i-1,1);
        mx=max(mx,f[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        insert(2*i-1,2*i,1);
        if (f[i]==1) insert(s,2*i-1,1);
        if (f[i]==mx) insert(2*i,t,1);
    }

    printf("%d
",mx);
    printf("%d
",dinic());

    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
        e[i].f=1,e[i+1].f=0;
    for(int i=first[s];i;i=e[i].next)
        if (i%2==0&&e[i].v==1) {e[i].f=inf;break;}
    for(int i=first[1];i;i=e[i].next)
        if (i%2==0&&e[i].v==2) {e[i].f=inf;break;}
    for(int i=first[2*n-1];i;i=e[i].next)
        if (i%2==0&&e[i].v==2*n) {e[i].f=inf;break;}
    for(int i=first[2*n];i;i=e[i].next)
        if (i%2==0&&e[i].v==t) {e[i].f=inf;break;}

    printf("%d",dinic());

    return 0;
}

试题库问题

更新时间： 2018.1.21
测试地址：试题库问题
做法：本题需要用到最大流。
本题也是经典的二分图多重匹配的模型，不过不像圆桌问题那样可以随便匹配了，每个类型只对应一部分题目。那么显然，对于所有类型 $i$ ，连接 $(S, i, p_{i})$ ，对于所有题目 $i$ ，连接 $(i, T, 1)$ （因为每道题目只能用一次），如果题目 $j$ 包含类型 $i$ ，那么连接 $(i, j, 1)$ ，对这个网络跑一遍最大流，然后照和圆桌问题类似的输出方案的方法输出即可。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t m+n+1
#define inf 1000000000
using namespace std;
int m,n,sum=0,first[1510]={0},tot=1,lvl[1510];
struct edge {int v,next,f;} e[200010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) lvl[i]=-1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[t]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==t) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    return maxf;
}

void output()
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        printf("%d:",i);
        for(int j=first[i];j;j=e[j].next)
            if (!e[j].f&&j%2==0&&e[j].v>m) printf(" %d",e[j].v-m);
        printf("
");
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int p;
        scanf("%d",&p);
        insert(s,i,p);
        sum+=p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int p,a;
        scanf("%d",&p);
        while(p--)
        {
            scanf("%d",&a);
            insert(a,m+i,1);
        }
        insert(m+i,t,1);
    }

    if (dinic()!=sum) printf("No Solution!");
    else output();

    return 0;
}

星际转移问题

更新时间： 2018.1.24
测试地址：星际转移问题
做法：本题需要用到最大流。
由于最终的天数不确定，所以我们枚举答案，转化为判定性问题： $a n s$ 天内人能不能全部到达月球？对于每一天，建 $n + 2$ 个点，表示这一天的地球、 $n$ 个太空站和月球，然后建模就比较容易了：
对于每一天的地球，连接 $(S, e a r t h_{i}, i n f)$ ；
对于每一天的月球，连接 $(m o o n_{i}, T, i n f)$ ；
对于所有飞船，如果前一天在点 $x$ ，当天在点 $y$ ，那么连接 $(x_{i - 1}, y_{i}, h)$ ；
对于每个点 $x$ ，连接 $(x_{i - 1}, x_{i}, i n f)$ （人留在原地等的情况）。
这样一来，只要当天的最大流达到了 $k$ ，就说明当天可以有 $k$ 个人到达月球了。因为我们是从小到大枚举答案，所以我们可以在每一次做完的残余网络上再加新边再跑，这样会跑的快些（大概吧）。
最后还有一个问题，判断无解的问题。网上有人直接估算可能达到的最大天数，这样有WA或TLE的风险，最稳的方法还是并查集判断连通性，详见代码。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1000000000
#define s 0
#define t 10009
using namespace std;
int n,m,k,first[20010]={0},tot=1,lvl[20010]={0},saved=0,tim=1;
int h[25],r[25],p[25][25],fa[25];
struct edge {int v,next,f;} e[1000010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[s]=0;
    for(int i=1;i<=(tim+1)*(n+2);i++)
        lvl[i]=-1;
    lvl[t]=-1;
    Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[t]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==t) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=saved;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    saved=maxf;
    return maxf;
}

bool check()
{
    for(int i=0;i<=n+1;i++)
        insert((tim-1)*(n+2)+i+1,tim*(n+2)+i+1,inf);
    insert(s,(tim-1)*(n+2)+1,inf);
    insert(tim*(n+2)+n+2,t,inf);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=p[i][tim%r[i]],y=p[i][(tim-1+r[i])%r[i]];
        insert((tim-1)*(n+2)+y+1,tim*(n+2)+x+1,h[i]);
    }
    dinic();
    return saved>=k;
}

int ufs_find(int x)
{
    int r=x,i=x,j;
    while(fa[r]!=r) r=fa[r];
    while(i!=r) j=fa[i],fa[i]=r,i=j;
    return r;
}

void ufs_merge(int x,int y)
{
    int fx=ufs_find(x),fy=ufs_find(y);
    if (fx!=fy) fa[fx]=fy; 
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=0;i<=n+1;i++) fa[i]=i;

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&h[i],&r[i]);
        for(int j=0;j<r[i];j++)
        {
            scanf("%d",&p[i][j]);
            if (p[i][j]==-1) p[i][j]=n+1;
            if (j>0) ufs_merge(p[i][j],p[i][j-1]);
        }
    }

    if (ufs_find(0)!=ufs_find(n+1)) {printf("0");return 0;} 

    while(!check()) tim++;
    printf("%d",tim);

    return 0;
}

最小割问题

太空飞行计划问题

更新时间： 2018.1.20
测试地址：太空飞行计划问题
做法：本题需要用到最小割。
本题是一个经典的求最大权闭合子图的模型。所谓闭合子图，是指求一个顶点集，使得该顶点集中任意一个点的出边都指向该顶点集中的点，而最大权闭合子图就是在所有闭合子图中求一个点权和最大的。因此，最大权闭合子图的模型常用来解决一些有依赖关系的选取问题，构图方法是：如果选 $a$ 就必须选 $b$ ，那么连接 $a$ -> $b$ 。经过一些证明（具体证明看这里），可以得到一个用最小割的思想求解该问题的模型：
对于原图中所有的边 $u$ -> $v$ ，连接 $(u, v, i n f)$ ，接下来对于所有正权点 $u$ ，连接 $(S, u, v a l u e_{u})$ ，对于所有负权点 $v$ ，连接 $(v, T, | v a l u e_{v} |)$ 。然后对于这个网络求最小割（也就等同于求最大流），记作 $f$ ，在最小割分成的两个顶点集中， $S$ 所在的集合为所求，而最大权和就是所有正权点权值和减去 $f$ 。
至于输出方案，求完最大流之后，从 $S$ 通过残余网络能到达的所有点就是所求的答案，虽然我不太会证明割边一定满流，有待学习。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll inf=1000000000,sum=0;
int m,n,first[110]={0},tot=1,lvl[110]={0};
struct edge {int v,next;ll f;} e[100010];
queue <int> Q;

int read(bool &flag)
{
    char c;
    int s=0;
    c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') s=s*10+c-'0',c=getchar();
    flag=(c=='
'||c=='
');
    return s;
}

void insert(int a,int b,ll f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[0]=0;
    for(int i=1;i<=m+n+1;i++)
        lvl[i]=-1;
    Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[m+n+1]!=-1;
}

ll maxflow(int v,ll maxf)
{
    if (v==m+n+1) return maxf;
    ll ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

ll dinic()
{
    ll maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    return maxf;
}

int main()
{
    inf*=inf;

    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll f;
        bool flag=0;
        scanf("%lld",&f);
        sum+=f;
        insert(0,i,f);
        while(true)
        {
            int s=read(flag);
            insert(i,m+s,inf);
            if (flag) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll f;
        scanf("%lld",&f);
        insert(m+i,m+n+1,f);
    }

    ll ans=sum-dinic();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if (lvl[i]!=-1) printf("%d ",i);
    printf("
");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (lvl[i+m]!=-1) printf("%d ",i);
    printf("
%lld",ans);

    return 0;
}

方格取数问题

更新时间： 2018.1.21
测试地址：方格取数问题
做法：本题需要用到最小割。
将每个格子看做点，然后将每个点和上下左右四个点连边，显然地，因为该图不存在奇环，所以网格图是一个二分图。那么问题就转化为求二分图的最大点权和独立集，这时我们想办法将其转化为我们更加熟悉的模型解决。
我们试探性地往图中加入源点和汇点，然后对于二分图的其中一部分，从 $S$ 到所有该部分中的点连边，从所有另一部分中的点到 $T$ 连边，边权为该点对应的格子上数的值，接下来将原二分图中所有的边权设为 $i n f$ ，方向设为从连接 $S$ 的点指向连接 $T$ 的点，我们来看看这个图有什么性质。可以看出，每一条从 $S$ 到 $T$ 的路径都对应了一对不能同时取的点，所以这些路径都不能存在，因此我们需要去掉一些边使得从 $S$ 不能到达 $T$ ，这里我们只会去掉边权不为 $i n f$ 的边，因此每去掉一条边都相当于放弃了与这条边相连的那个点。而我们又要使得剩下的点的点权和最大，也就意味着剩下的边权不为 $i n f$ 的边权和最大，也就是删掉的边的边权和最小，这显然就是一个最小割了。所以我们按照上述方法建一个网络，容量即为边权，然后跑一遍最大流，因为最大流等于最小割，所以用所有数的和减去得到的结果就是最后的答案。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t m*n+1
#define inf 1000000000
using namespace std;
int m,n,sum=0,first[10010]={0},tot=1,lvl[10010];
struct edge {int v,next,f;} e[200010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,first[b]=tot;
}

bool makelevel()
{
    lvl[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) lvl[i]=-1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==-1)
            {
                lvl[e[i].v]=lvl[v]+1;
                Q.push(e[i].v);
            }
    }
    return lvl[t]!=-1;
}

int maxflow(int v,int maxf)
{
    if (v==t) return maxf;
    int ret=0,f;
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].f&&lvl[e[i].v]==lvl[v]+1)
        {
            f=maxflow(e[i].v,min(e[i].f,maxf-ret));
            e[i].f-=f;
            e[i^1].f+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int maxf=0;
    while(makelevel()) maxf+=maxflow(0,inf);
    return maxf;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int a;
            scanf("%d",&a);
            sum+=a;
            if ((i+j)%2==0)
            {
                if (i>1) insert((i-1)*n+j,(i-2)*n+j,inf);
                if (i<m) insert((i-1)*n+j,i*n+j,inf);
                if (j>1) insert((i-1)*n+j,(i-1)*n+j-1,inf);
                if (j<n) insert((i-1)*n+j,(i-1)*n+j+1,inf);
                insert(s,(i-1)*n+j,a);
            }
            else insert((i-1)*n+j,t,a);
        }

    printf("%d",sum-dinic());

    return 0;
}

费用流问题

餐巾计划问题

更新时间： 2018.1.19
测试地址：餐巾计划问题
做法：本题需要用到费用流。
将本题的模型简化一下，可以知道第 $i$ 天的入度来源于：新购买的餐巾，前一天没用完的干净餐巾，刚快洗或慢洗完的餐巾，而出度都指向第 $i + m$ 天（快洗）和第 $i + n$ 天（慢洗），而且要求点流量必须大于等于 $r_{i}$ 。那么显然我们把代表一天的点拆成两个点 $u, v$ ，并连接 $< u, v, r_{i}, i n f >$ 。根据上下界网络流的解法（实际上是看大佬题解抄来的），这条边等价于 $(S, v, r_{i}) + (u, T, r_{i}) + (u, v, i n f)$ 。剩下的建模就很简单了，只需要连 $(S, u_{1}, i n f, p)$ （相当于把所有要买的餐巾一上来先买好）， $(v_{i}, u_{i + m}, i n f, f)$ （快洗）和 $(v_{i}, u_{i + n}, i n f, s)$ （慢洗），然后跑个正常的费用流即可。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1000000000
using namespace std;
int N,first[5010]={0},tot=1,laste[5010],last[5010];
ll p,m,f,n,s,dis[5010];
bool vis[5010]={0};
struct edge {ll v,f,c,next;} e[200010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,e[tot].c=c,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,e[tot].c=-c,first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    ll s;
    while(!Q.empty()) Q.pop();
    Q.push(0);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[0]=0;vis[0]=1;
    for(int i=1;i<=2*N+1;i++)
        dis[i]=inf;
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[v]+e[i].c<dis[e[i].v])
            {
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                laste[e[i].v]=i;
                last[e[i].v]=v;
                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[2*N+1]!=inf;
}

ll mincost()
{
    ll ans=0;
    while(spfa())
    {
        int x=2*N+1;
        ll minf=inf;
        while(x) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=2*N+1;
        while(x) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=minf*dis[2*N+1];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        ll r;
        scanf("%lld",&r);
        insert(0,2*i,r,0);
        insert(2*i-1,2*N+1,r,0);
        insert(2*i-1,2*i,inf,0);
    }
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&m,&f,&n,&s);

    insert(0,1,inf,p);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if (i<N) insert(2*i-1,2*i+1,inf,0);
        if (i+m<=N) insert(2*i,2*(i+m)-1,inf,f);
        if (i+n<=N) insert(2*i,2*(i+n)-1,inf,s);
    }

    printf("%lld",mincost());

    return 0;
}

航空路线问题

更新时间： 2018.1.23
测试地址：航空路线问题
做法：本题需要用到费用流。
首先，题目求的是一个环，包含从西向东和从东向西两条不相交（除起点和终点）的路径，显然可以看做两条从西向东的两条不相交（除起点和终点）路径来求。因为每个城市只能经过一次，所以有点流量限制，因此我们把一个点拆成两个点 $u_{i}, v_{i}$ ，并在中间连接 $(u_{i}, v_{i}, m a x f, 1)$ ，显然对于除起点和终点的其他城市，点流量限制为 $1$ ，否则为 $2$ 。其他部分就比较简单了，先连接 $(S, u_{1}, 2)$ 和 $(v_{n}, T, i n f)$ ，再将原图的无向边改成从西向东的有向边 $i$ -> $j$ ，因为我们拆了点，所以实际连的是 $(v_{i}, u_{j}, i n f)$ 。再然后，因为要求经过的点最多，所以跑最大费用最大流即可，只需将SPFA中求最短路改成求最长路即可。特殊地，如果最大流小于 $2$ 则无解。至于输出方案，应该不难，但是要注意细节。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t 2*n+1
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n,m,first[210]={0},tot=1,dis[210],last[210],laste[210],maxf,path[210];
char name[110][20],names[20];
struct edge {int v,next,f,c;} e[100010];
bool vis[210]={0};
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,int f,int c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,e[tot].c=c,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,e[tot].c=-c,first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    dis[s]=0,vis[s]=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
        dis[i]=-inf;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)
            {
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                last[e[i].v]=v;
                laste[e[i].v]=i;
                if (!vis[e[i].v]) vis[e[i].v]=1,Q.push(e[i].v);
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=-inf;
}

int maxcost()
{
    int ans=0;
    maxf=0;
    while(spfa())
    {
        int x=t,minf=inf;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=dis[t]*minf;
        maxf+=minf;
    }
    return ans;
}

void output()
{
    int x,i;
    bool flag=0;
    printf("%s
",name[1]);
    for(i=first[2];i;i=e[i].next)
        if ((e[i].f==inf-1||e[i].f==inf-2)&&i%2==0) break;
    x=e[i].v;
    while(x!=2*n-1)
    {
        printf("%s
",name[(x+1)/2]);
        x++;
        for(int j=first[x];j;j=e[j].next)
            if (e[j].f==inf-1&&j%2==0) {x=e[j].v;break;}
    }
    printf("%s
",name[n]);
    if (e[i].f!=inf-2)
    {
        i=e[i].next;
        for(;i;i=e[i].next)
            if (e[i].f==inf-1&&i%2==0) break;
        x=e[i].v;
        path[0]=0;
        while(x!=2*n-1)
        {
            path[++path[0]]=(x+1)/2;
            x++;
            for(int j=first[x];j;j=e[j].next)
                if (e[j].f==inf-1&&j%2==0) {x=e[j].v;break;}
        }
        for(i=path[0];i>=1;i--) printf("%s
",name[path[i]]);
    }
    printf("%s",name[1]);
}

int find()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bool flag=1;
        int len=max(strlen(name[i]),strlen(names));
        for(int j=0;j<len;j++)
            if (name[i][j]!=names[j]) {flag=0;break;}
        if (flag) return i;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    insert(s,1,2,0);
    insert(2*n,t,inf,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (i==1||i==n) insert(2*i-1,2*i,2,1);
        else insert(2*i-1,2*i,1,1);
        scanf("%s",name[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%s",names);
        a=find();
        scanf("%s",names);
        b=find();
        if (a>b) swap(a,b);
        insert(2*a,2*b-1,inf,0);
    }

    int ans=maxcost()-2;
    if (maxf<2) printf("No Solution!");
    else
    {
        printf("%d
",ans);
        output();
    }

    return 0;
}

软件补丁问题

更新时间： 2018.1.23
测试地址：软件补丁问题
做法：本题需要用到费用流。
不难想到，将错误的 $2^{n}$ 个状态全部存储成点，然后把“使用补丁”这一过程看作状态的转移，用位运算把图建出来，最后从 $(111...1)$ 到 $(000...0)$ 的最短路径就是答案。没错，一次最短路就能解决的事情为什么要放在网络流24题里呢……虽然这样，但为了达到练习（方便Ctrl+C和Ctrl+V）的效果，我的代码还是用费用流的模板写的。
然而，要注意的是，如果我们在做之前就把图建好，结果是无论如何都会MLE或者RE，这时我们就要动态加边，就是等到用到时才把边建出来，我也不知道为什么加了这个之后就能过了，大概是玄学吧……
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t (1<<n)+1
#define ll long long
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n,m,first[2000010]={0},tot=1,laste[2000010],last[2000010];
int b1[110]={0},b2[110]={0},f1[110]={0},f2[110]={0};
ll dis[2000010],tim[110];
bool vis[2000010]={0},visit[2000010]={0};
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[2000010];
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,e[tot].c=c,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,e[tot].c=-c,first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    Q.push(s);
    dis[s]=0;vis[s]=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
        dis[i]=inf;
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        if (v&&!visit[v])
        {
            v--;
            for(int i=1;i<=m;i++)
                if ((v&b1[i])==b1[i]&&(v&b2[i])==0)
                    insert(v+1,((v-(v&f1[i]))|f2[i])+1,1,tim[i]);
            v++;
            visit[v]=1;
        }
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[v]+e[i].c<dis[e[i].v])
            {
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                laste[e[i].v]=i;
                last[e[i].v]=v;
                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=inf;
}

ll mincost()
{
    ll ans=0;
    while(spfa())
    {
        int x=t;
        ll minf=inf;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=minf*dis[t];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    insert(s,1<<n,1,0);
    insert(1,t,1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        char b[20],f[20];
        scanf("%lld%s%s",&tim[i],b,f);
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if (b[j]=='+') b1[i]+=(1<<j);
            if (b[j]=='-') b2[i]+=(1<<j);
            if (f[j]=='-') f1[i]+=(1<<j);
            if (f[j]=='+') f2[i]+=(1<<j);
        }
    }

    printf("%lld",mincost());

    return 0;
}

数字梯形问题

更新时间： 2018.1.25
测试地址：数字梯形问题
做法：本题需要用到费用流。
对于这道题，因为每次只能往左下和右下两个数字走，所以边相交的情况实际上只有重边的情况，所以直接考虑网络流建模。
对于第一问，相当于限制了点容量和往下走的边容量，因此惯例把每个点拆成两个点即可，剩下的建模就直接按照转移图建就行。
对于第二问，相当于只限制了往下走的边容量，这时要注意，从最下面一行到汇点的边不属于限制边，因为有可能出现路径在最后一行相交的情况。这时我们只需把点容量限制取消即可。
对于第三问，相当于没有限制，取消所有限制即可。
按照上述方式建完图后，在点容量的边上加一个费用，即这个点上数的值，然后跑最大费用最大流即可。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define s 0
#define t 509
#define inf 1000000000
using namespace std;
int m,n,p=0,first[1010]={0},tot=1;
int last[1010],laste[1010];
ll dis[1010];
struct edge {int v,next,type;ll f,c;} e[200010];
queue <int> Q;
bool vis[1010]={0};

void insert(int a,int b,ll f,ll c,int type)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].f=f,e[tot].c=c,e[tot].type=type,e[tot].next=first[a],first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].f=0,e[tot].c=-c,e[tot].type=type,e[tot].next=first[b],first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    dis[s]=0;
    for(int i=1;i<=2*p;i++) dis[i]=-inf;
    dis[t]=-inf;
    vis[s]=1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)
            {
                laste[e[i].v]=i;
                last[e[i].v]=v;
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]>0;
}

ll maxcost()
{
    ll ans=0,minf;
    while(spfa())
    {
        minf=inf;
        int x=t;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=minf*dis[t];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m+i-1;j++)
        {
            ll a;
            scanf("%lld",&a);
            p++;
            if (i==1) insert(s,2*p-1,1,0,0);
            if (i==n) insert(2*p,t,inf,0,1);
            insert(2*p-1,2*p,1,a,1);
            if (i>1&&j>1) insert(2*(p-m-i+1),2*p-1,1,0,2);
            if (i>1&&j<m+i-1) insert(2*(p-m-i+2),2*p-1,1,0,2);
        }

    printf("%lld
",maxcost());
    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
    {
        if (e[i].type==1) e[i].f=inf;
        else e[i].f=1;
        e[i^1].f=0;
    }
    printf("%lld
",maxcost());
    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
    {
        if (e[i].type>0) e[i].f=inf;
        else e[i].f=1;
        e[i^1].f=0;
    }
    printf("%lld",maxcost());

    return 0;
}

运输问题

更新时间： 2018.1.25
测试地址：运输问题
做法：本题需要用到费用流。
做了那么多题的你看到这样的题，应该很快就能想出建模方法了：
对于所有仓库 $i$ ，连接 $(S, i, a_{i}, 0)$ ；
对于所有商店 $j$ ，连接 $(j, T, b_{j}, 0)$ ；
对于所有运输方法 $i$ -> $j$ ，连接 $(i, j, i n f, c_{i j})$ 。
对上面的网络，分别跑一次最小费用最大流和最大费用最大流即可。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define s 0
#define t m+n+1
using namespace std;
int m,n,first[210]={0},tot=1;
int last[210],laste[210];
ll dis[210],inf;
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[200010];
queue <int> Q;
bool vis[210]={0};

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].f=f,e[tot].c=c,e[tot].next=first[a],first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].f=0,e[tot].c=-c,e[tot].next=first[b],first[b]=tot;
}

bool spfa(bool type)
{
    dis[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) dis[i]=type?inf:-inf;
    vis[s]=1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&((!type&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)||(type&&dis[e[i].v]>dis[v]+e[i].c)))
            {
                laste[e[i].v]=i;
                last[e[i].v]=v;
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=(type?inf:-inf);
}

ll mincost(bool type)
{
    ll ans=0,minf;
    while(spfa(type))
    {
        minf=inf;
        int x=t;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=minf*dis[t];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    inf=1000000000;
    inf*=inf;

    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll a;
        scanf("%lld",&a);
        insert(s,i,a,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll a;
        scanf("%lld",&a);
        insert(m+i,t,a,0);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            ll a;
            scanf("%lld",&a);
            insert(i,m+j,inf,a);
        }

    printf("%lld
",mincost(1));
    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
        e[i].f=e[i].f+e[i^1].f,e[i^1].f=0;
    printf("%lld",mincost(0));

    return 0;
}

分配问题

更新时间： 2018.1.25
测试地址：分配问题
做法：本题需要用到费用流。
本题是经典的二分图最佳匹配模型，可以用KM算法做，当然也可以用费用流来解。建图的方法和上面那题基本一样，只不过从源点流出和进入汇点的边容量都是 $1$ ，建完图后分别跑一次最小费用最大流和最大费用最大流即可。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define s 0
#define t 2*n+1
using namespace std;
int n,first[210]={0},tot=1;
int last[210],laste[210];
ll dis[210],inf;
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[200010];
queue <int> Q;
bool vis[210]={0};

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].f=f,e[tot].c=c,e[tot].next=first[a],first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].f=0,e[tot].c=-c,e[tot].next=first[b],first[b]=tot;
}

bool spfa(bool type)
{
    dis[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) dis[i]=type?inf:-inf;
    vis[s]=1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&((!type&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)||(type&&dis[e[i].v]>dis[v]+e[i].c)))
            {
                laste[e[i].v]=i;
                last[e[i].v]=v;
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=(type?inf:-inf);
}

ll mincost(bool type)
{
    ll ans=0,minf;
    while(spfa(type))
    {
        minf=inf;
        int x=t;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=minf*dis[t];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    inf=1000000000;
    inf*=inf;

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        insert(s,i,1,0);
        insert(n+i,t,1,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            ll a;
            scanf("%lld",&a);
            insert(i,n+j,inf,a);
        }

    printf("%lld
",mincost(1));
    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
        e[i].f=e[i].f+e[i^1].f,e[i^1].f=0;
    printf("%lld",mincost(0));

    return 0;
}

负载平衡问题

更新时间： 2018.1.25
测试地址：负载平衡问题
做法：本题需要用到费用流。
虽然这题貌似可以用贪心或者中位数啥啥的做法水过，但是这题的数据范围明显适用网络流，而且我们很快就能想出建模的方法。
对于每个仓库，建立一个供给节点和一个需求节点，对于这道题，每个仓库的供给量就是一开始的货物数，需求量就是总货物数/仓库数，而一份货物从一个仓库转移到另一个仓库需要一些代价。看到这里，其实建模思路已经非常明显了，按照运输问题那样的建模方式建，然后跑最小费用最大流即可。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define s 0
#define t 2*n+1
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n,p=0,first[210]={0},tot=1;
int last[210],laste[210];
ll dis[210],sum=0;
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[200010];
queue <int> Q;
bool vis[210]={0};

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].f=f,e[tot].c=c,e[tot].next=first[a],first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].f=0,e[tot].c=-c,e[tot].next=first[b],first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    dis[s]=0;
    for(int i=1;i<=t;i++) dis[i]=inf;
    vis[s]=1;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[e[i].v]>dis[v]+e[i].c)
            {
                laste[e[i].v]=i;
                last[e[i].v]=v;
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=inf;
}

ll mincost()
{
    ll ans=0,minf;
    while(spfa())
    {
        minf=inf;
        int x=t;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=minf*dis[t];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll a;
        scanf("%lld",&a);
        sum+=a;
        insert(s,i,a,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(n+i,t,sum/n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            insert(i,n+j,inf,min(abs(i-j),n-abs(i-j)));

    printf("%lld",mincost());

    return 0;
}

深海机器人问题

更新时间： 2018.1.26
测试地址：深海机器人问题
做法：本题需要用到费用流。
这题唯一比较难的点是如何处理每条边只能取一次，但其实也不难，只需要先连 $(u, v, 1, x)$ ，然后再连一个 $(u, v, i n f, 0)$ 即可，其他建图应该比较容易了，建完之后跑最大费用最大流即可。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define t (p+1)*(q+1)+1
#define ll long long
using namespace std;
int p,q,a,b,first[510]={0},tot=1,last[510],laste[510];
ll dis[510],inf;
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[200010];
bool vis[510]={0};
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,e[tot].c=c,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,e[tot].c=-c,first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    dis[s]=0,vis[s]=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
        dis[i]=-inf;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)
            {
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                last[e[i].v]=v;
                laste[e[i].v]=i;
                if (!vis[e[i].v]) vis[e[i].v]=1,Q.push(e[i].v);
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=-inf;
}

ll maxcost()
{
    ll ans=0;
    while(spfa())
    {
        int x=t;
        ll minf=inf;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=dis[t]*minf;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    inf=1000000000;
    inf*=inf;

    scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&p,&q);
    for(int i=0;i<p+1;i++)
        for(int j=0;j<q;j++)
        {
            ll x;
            scanf("%lld",&x);
            insert(j*(p+1)+i+1,(j+1)*(p+1)+i+1,1,x);
            insert(j*(p+1)+i+1,(j+1)*(p+1)+i+1,inf,0);
        }
    for(int j=0;j<q+1;j++)
        for(int i=0;i<p;i++)
        {
            ll x;
            scanf("%lld",&x);
            insert(j*(p+1)+i+1,j*(p+1)+i+2,1,x);
            insert(j*(p+1)+i+1,j*(p+1)+i+2,inf,0);
        }
    for(int i=1;i<=a;i++)
    {
        ll k;int x,y;
        scanf("%lld%d%d",&k,&x,&y);
        swap(x,y);
        insert(s,x*(p+1)+y+1,k,0);
    }
    for(int i=1;i<=b;i++)
    {
        ll k;int x,y;
        scanf("%lld%d%d",&k,&x,&y);
        swap(x,y);
        insert(x*(p+1)+y+1,t,k,0);
    }

    printf("%lld",maxcost());

    return 0;
}

最长k可重区间集问题

更新时间： 2018.1.26
测试地址：最长k可重区间集问题
做法：本题需要用到费用流。
尝试建一个有向图：将一个区间看做一个点，点权为该区间的长度，若两个区间 $i, j$ 不相交，且 $i$ 在 $j$ 之前，则连接 $i$ -> $j$ 。不难看出，问题可以转化为在这个有向图中选取 $k$ 条不相交的路径，使得路径上的点权总和最大。因为每个点都有可能是起点或者终点，所以从 $S$ 向所有点、从所有点向 $T$ 连边，而又因为题目只限制了总流量，所以应该将 $S$ 拆成两个点，然后连接 $(S_{1}, S_{2}, k)$ 。题目要求路径不相交，那么每个点肯定只能经过一次，因此将每个点拆成两个点，然后连接 $(x_{i}, y_{i}, 1, v a l u e_{i})$ 。其他的边就按照原有向图的边连即可，容量为 $i n f$ ，费用为 $0$ ，建完图后跑一遍最大费用最大流即可。
（据说还有另一种建模方式，有待学习）
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define ss 2*n+2
#define t 2*n+1
#define ll long long
using namespace std;
int n,k,first[1010]={0},tot=1,last[1010],laste[1010];
ll l[1010],r[1010],dis[1010],inf;
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[500010];
bool vis[1010]={0};
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,e[tot].c=c,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,e[tot].c=-c,first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    dis[s]=0,vis[s]=1;
    for(int i=1;i<=ss;i++)
        dis[i]=-inf;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)
            {
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                last[e[i].v]=v;
                laste[e[i].v]=i;
                if (!vis[e[i].v]) vis[e[i].v]=1,Q.push(e[i].v);
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=-inf;
}

ll maxcost()
{
    ll ans=0;
    while(spfa())
    {
        int x=t;
        ll minf=inf;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=dis[t]*minf;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    inf=1000000000;
    inf*=inf;

    scanf("%d%d",&n,&k);
    insert(s,ss,k,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&l[i],&r[i]);
        insert(ss,2*i-1,inf,0);
        insert(2*i,t,inf,0);
        insert(2*i-1,2*i,1,r[i]-l[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if (l[j]>=r[i]) insert(2*i,2*j-1,inf,0);

    printf("%lld",maxcost());

    return 0;
}

最长k可重线段集问题

更新时间： 2018.1.27
测试地址：最长k可重线段集问题
做法：本题需要用到费用流。
本题的做法和上面的最长k可重区间集差不多，区别有：
1.线段长度的计算不同了（…废话），注意在洛谷上必须要开long long才不会爆。
2.不同于区间，开区间的左右端点不可能是一个数，但是开线段的两个端点的横坐标可能相同，也就是垂直于 $x$ 轴，解决方法是：将所有横坐标乘以2，如果一条线段两端点的横坐标相同，那么右端点++，否则左端点++，这样就可以将左右端点隔开了。
其他建模方法和上一题相同，详见代码。
以下是本人代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define s 0
#define ss 2*n+2
#define t 2*n+1
#define ll long long
using namespace std;
int n,k,first[1010]={0},tot=1,last[1010],laste[1010];
ll xz[1010],yz[1010],xo[1010],yo[1010],dis[1010],inf;
struct edge {int v,next;ll f,c;} e[500010];
bool vis[1010]={0};
queue <int> Q;

void insert(int a,int b,ll f,ll c)
{
    e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],e[tot].f=f,e[tot].c=c,first[a]=tot;
    e[++tot].v=a,e[tot].next=first[b],e[tot].f=0,e[tot].c=-c,first[b]=tot;
}

bool spfa()
{
    dis[s]=0,vis[s]=1;
    for(int i=1;i<=ss;i++)
        dis[i]=-inf;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int v=Q.front();Q.pop();
        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
            if (e[i].f&&dis[e[i].v]<dis[v]+e[i].c)
            {
                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].c;
                last[e[i].v]=v;
                laste[e[i].v]=i;
                if (!vis[e[i].v]) vis[e[i].v]=1,Q.push(e[i].v);
            }
        vis[v]=0;
    }
    return dis[t]!=-inf;
}

ll maxcost()
{
    ll ans=0;
    while(spfa())
    {
        int x=t;
        ll minf=inf;
        while(x!=s) minf=min(minf,e[laste[x]].f),x=last[x];
        x=t;
        while(x!=s) e[laste[x]].f-=minf,e[laste[x]^1].f+=minf,x=last[x];
        ans+=dis[t]*minf;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    inf=1000000000;
    inf*=inf;

    scanf("%d%d",&n,&k);
    insert(s,ss,k,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&xz[i],&yz[i],&xo[i],&yo[i]);
        if (xo[i]<xz[i]) swap(xz[i],xo[i]),swap(yz[i],yo[i]);
        insert(ss,2*i-1,inf,0);
        insert(2*i,t,inf,0);
        insert(2*i-1,2*i,1,(ll)sqrt((xo[i]-xz[i])*(xo[i]-xz[i])+(yo[i]-yz[i])*(yo[i]-yz[i])));
        xz[i]<<=1,xo[i]<<=1;
        if (xz[i]==xo[i]) xo[i]++;
        else xz[i]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if (xz[j]>=xo[i]) insert(2*i,2*j-1,inf,0);

    printf("%lld",maxcost());

    return 0;
}

不可做问题

机器人路径规划问题

更新时间： 2018.1.21
测试地址：机器人路径规划问题
做法：本题是这24题中唯一一道不能用网络流算法解决的问题，需要用一堆诡异的随机化算法解决，但据说有大牛弄出来了 $O (n^{6})$ 的DP做法，这里只附个链接供大家膜拜：
大佬 Orz <-我

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