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对于某一类游戏（博弈），我们可以把游戏中的各个状态看作点，状态之间的转移看作有向边，构成一个有向无环图，把博弈的过程看成是两个人拿一个棋子轮流在图上面走，如果轮到某一方时走不动就算输。这可以看做ICG（公平组合游戏，Impartial Combinatorial Games）的一种抽象模型，例如著名的Nim游戏就是一个ICG。这类游戏的每一个状态都有先手必胜或先手必败的性质，我们把先手必败的状态称为P-position，先手必胜的状态称为N-position。事实上P/N-position还可以这样定义：1.无法继续走的点是P-position；2.有出边指向P-position的点是N-position；3.任何出边都指向N-position的点是P-position。按照这个定义，我们就可以对于任意一个ICG，算出任意一个状态的P/N-position性质了。
这个时候我们在这样一个模型上的每一个点定义SG（Sprague-Garundy）函数：一个有向无环图上的一个点i的SG函数g(i)定义如下：如果该点没有出边，g(i)=0，否则定义一个mex（minimal excludant）操作，这是对一个集合进行的操作，返回值为集合中所不包含的最小的非负整数，那么g(i)=mex{g(x)|i有出边指向x}。显然对于一个有向无环图，我们都能在O(状态总数×每个点的后继状态数)时间内求出所有点的SG函数值，那么这个SG函数又有什么性质呢？设g(i)=k，这就表示从点i可以走到一个SG函数值等于0,1,2,...,k−1的点，这是不是很像Nim游戏中的“取石子”操作？Nim游戏中，可以将一个有k个石子的堆变为有0,1,2,...,k−1个石子的堆，而对于任何一个ICG，从一个g(i)=k的状态可以走到一个g(i)=0,1,2,...,k−1的状态，这就说明ICG和Nim游戏有着一种联系。
而上面的有向图游戏除了终止点外，都是先手必胜的（因为可以直接走到g(i)=0的点），我们需要研究更加复杂的游戏，那么我们定义一个“组合游戏”：一个游戏由若干个“子游戏”组成，每个子游戏都是一个ICG，而整个游戏要求每次挑选一个子游戏进行行动，那么这样一个游戏的P/N-position性质要怎么计算呢？前面我们介绍了Nim游戏与ICG之间的联系，而在研究Nim游戏时我们有一个结论：如果每堆石子的数量异或起来值为0，那么先手必败，否则先手必胜。那么我们类比Nim游戏和上面的组合游戏，发现Nim游戏中每堆石子的数量和组合游戏中每一个子游戏的初始状态的SG函数值是对应的，那么Nim游戏中的结论也可以套到这样的组合游戏中来：若组合游戏的每一个子游戏中初始状态的SG函数值异或起来等于0，那么这个组合游戏先手必败，否则先手必胜。这样我们就完全破解了这类游戏中状态性质的计算。
上面讲了这么多，大家可能觉得比较难理解，那么我们就举个例子：
S-Nim游戏（HDU1944）：有L堆珠子，每堆珠子数量可能不同（最大可能为N=10000），双方轮流行动，每次行动从一堆珠子中取出若干颗，取出的珠子数量必须是一个正整数集合S中的一个数，若轮到某一方时不能按照规则行动，那么这一方判负，给出初始状态和集合S，问先手必胜还是先手必败。1≤L,|S|≤100。
很容易可以把S-Nim游戏转化为上述的组合游戏的模型，我们只需把每一堆珠子看做一个子游戏即可，注意到这些子游戏所转化成的有向图都是一样的，所以我们预处理出所有点的SG函数值，然后判断每一堆珠子数量对应的状态点的SG函数值异或起来是不是0即可。时间复杂度为O(|S|N)。需要代码的话请看这里。
以上就是我对SG函数的理解。