拓展欧几里得算法揭秘

最大公约数

更相减损术：(gcd(x,y)=gcd(y-x,x)(xleq y))。

设 (gcd(x,y)=k,x=kp,y=kq,gcd(p,q)=1)。

那么 (gcd(y-x,x)=gcd(kq-kp,kp)=k imesgcd(q-p,p))。

设 (gcd(q-p,p)=r,q-p=rb,p=ra)。

那么 (q=r(a+b))。

因为 (gcd(p,q)=1=gcd(ra,r(a+b)))。

所以 (r=gcd(a,a+b)=1,gcd(y-x,x)=gcd(x,y)=k)。

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辗转相除法（欧几里得算法）：(gcd(x,y)=gcd(ymod x,x)(xleq y))。

取模相当于做多次减法，其实就是更相减损术的优化。

最小公倍数

容斥，两数之积除以两数的最大公约数。

有一个小技巧，若数以质因数分解的形式给出，算最大公约数系数取 (min)，算最小公倍数系数取 (max)。

拓展欧几里得算法

有不定方程 (ax+by=gcd(a,b))，求出任意一个整数解（根据裴蜀定理，这东西一定有整数解）。

假设我们当前已经得出了方程

[bmod a imes x+ay=gcd(bmod a,a) ]

的一组整数解 (x=p,y=q)，根据 gcd 的性质有

[bmod a imes p+aq=gcd(a,b) ]

将取模拆掉

[(b-lfloor b/a floor a)p+aq=gcd(a,b) ]

整理成最初的形式

[a(q-lfloor b/a floor p)+bp=gcd(a,b) ]

那么 (x=q-lfloor b/a floor p,y=p) 就是方程 (ax+by=gcd(a,b)) 的一组整数解。

所以在求解 (ax+by=gcd(a,b)) 时我们可以先递归求解 (bmod a imes x+ay=gcd(bmod a,a)) 然后计算当前的解。

这个递归的终止条件是 (a=0)，此时 (x=0,y=1) 是一组解，返回即可（虽然 (x) 取什么都没有关系但我们想让解的绝对值尽量小）。

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考虑归纳求出解的范围。假设递归得到 (-bmod aleq y'leq bmod a,-aleq x'leq a)，现在 (x=y'-lfloor b/a floor x',y=x')。

取 (y'=bmod a,x'=-a) 有 (xleq bmod a+lfloor(b-bmod a)/a floor aleq b,ygeq-a)。

取 (y'=-bmod a,x'=a) 有 (xgeq-bmod a-lfloor(b-bmod a)/a floor ageq-b,yleq a)。

所以拓欧求出的 (ax+by=gcd(a,b)) 的解 (x,y) 满足 (xin[-b,b],yin[-a,a])，显然边界同样满足。