排列最小值

也许更好的阅读体验

(mathcal{Description})

多组询问
(1 leq n,Qleq 10^5)

(mathcal{Solution})

(50)分解法

考虑(DP),感觉上直接算答案不好算,所以考虑算长度为(n)的所有排列改变的次数的排列的个数算出来
之后再把个数乘以次数的平方即可
设(f_{i,j})表示长度为(i)的排列的改变次数为(j)的排列个数
考虑把最大的(i)插入到长度为(i-1)的改变次数为(j)的排列中,则有(i)个空可以插,其中最前面的空插进去会使改变次数加一,所以有(i-1)个空使改变次数不变
考虑插在最前面则原改变次数应为(j-1)
所以(f_{i,j}=f_{i- 1,j}*(i-1)+f_{i-1,j-1})
其实就是第一类斯特林数的递推公式
提前预处理一下即可做到 (n^{2})

(100)分解法

仍然是(DP),原来的是把问题拆开,好做但是不能直接算
不妨大胆一点,设(f_i)表示长度为(i)的答案
仍然考虑从(i-1)转移过来
还是上面那句
考虑把最大的(i)插入到长度为(i-1)的改变次数为(j)的排列中,则有(i)个空可以插,其中最前面的空插进去会使改变次数加一,所以有(i-1)个空使改变次数不变
(f_i=f_{i-1}*(i-1)+插到最前面的贡献)
考虑插在最前面,原本的改变次数为(x)的都变为(x+1)了
也就是(x^2 -> (x+1)^2=x^2+2x+1)
我们设(g_i)表示原本算贡献时是按照(x)来算的长度为(i)的答案
对于那个(1),因为插在最前面后面的(i-1)个数共有((i-1)!)种组合
所以(f_i=f_{i-1}*(i-1)+f_{i-1}+2g_{i-1}+(i-1)!=f_{i-1}*i+f_{i-1}+(i-1)!)
(g_i)同样这么推
(g_i=g_{i-1}*i+(i-1)!)

(mathcal{Code})

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年09月28日 星期六 09时34分38秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
const int mod = 998244353;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9')	res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int T,n;
int f[maxn],g[maxn],fac[maxn];
int main()
{
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=100000;++i){
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		f[i]=((1ll*f[i-1]*i%mod+2ll*g[i-1]%mod)%mod+fac[i-1])%mod;
		g[i]=(1ll*g[i-1]*i%mod+fac[i-1])%mod;
	}
	cin>>T;
	while (T--){
		cin>>n;
		printf("%d
",f[n]);
	}
	return 0;
}

如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
如您喜欢的话不妨点个赞收藏一下吧