Bellman-Ford算法是一种单源最短路算法，允许图中有负边权。Bellman-Ford算法的效率相对较低，但是很容易编写，也很好理解。比较流行的SPFA算法其实就是他的队列优化。Bellman-Ford算法的流程大体是这样，先将源点的最短路设置为0，将其他结点的最短路设置为inf，然后进行n-1次迭代，每次检查每条边进行松弛操作，这样就得到了其他结点的最短路。而且可以检查是否存在负环，若n次迭代仍然可以进行松弛操作，则说明存在负环。不难看出时间复杂度是O(nm)的。怎么理解Bellman-Ford算法呢？不妨想想一棵最短路径树，根是源点，叶子结点是图中其他结点，叶子结点到根节点的路径就是其他结点的最短路。虽然这棵树一开始我们并不知道什么样子，但他是客观存在的。而Bellman-Ford算法就是逐层构造这棵最短路树，假设处理到了第i层，那么第i-1层已经处理完毕，那么扫描每一条边，看是否可以松弛，一定可以由第i-1层扩展到第i层。如果把源点看做第0层，那么这棵树最多有n-1层，因此迭代n-1次一定可以得到这棵最短路树（如果存在的话），那么如果第n次仍然可以进行松弛操作，说明不存在最短路（存在负环）。
1 #include<cstdio> 2 #include<cctype> 3 #include<cstring> 4 const int inf=0x3f3f3f3f; 5 int n,m,s,d[maxn]; 6 struct edge { 7 int u,v,w; 8 edge(int u=0,int v=0,int w=-1):u(u),v(v),w(w) {} 9 } E[maxm]; 10 bool bellman() { 11 memset(d,inf,sizeof(d)); 12 d[s]=0; 13 for(int i=1;i<=n;++i) //循环检查n次，正常情况下最多迭代n-1次，第n次用于判断是否存在最短路 14 for(int i=1;i<=m;++i) { 15 int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w; 16 if(d[v]>d[u]+w) { //松弛操作 17 if(i==n) return false; 18 else d[v]=d[u]+w; 19 } 20 } 21 return true; 22 } 23 int main() { 24 scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); 25 int u,v,w; 26 for(int i=1;i<=m;++i) { 27 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 28 E[i]=edge(u,v,w); 29 } 30 if(!bellman()) printf("Wrong!"); 31 else for(int i=1;i<=n;++i) { 32 if(i!=1) putchar(' '); 33 printf("%d",d[i]); 34 } 35 return 0; 36 }